A menudo, para los procesos termodinámicos sólo se muestra un diagrama p-V. Incluso sin cifras concretas, la forma de la curva puede ser útil para evaluar el proceso. Sin embargo, es difícil de averiguar para los procesos reales. ¿Existen buenas reglas generales para obtener un diagrama T-S a partir de un diagrama p-V?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para un sistema general (ecuación de estado/energía desconocida) esto no será posible.
Por ejemplo, un $(p,V)$ -curva con puntos $(p,\frac{c}{p})$ podría ser una isoterma porque quizás $V(p)=\frac{nRT}{p}$ . Una isoterma corresponde a una línea horizontal en un $(T,S)$ -diagrama. Pero si no sabes que estás tratando con una situación de gas ideal, entonces puede parecer diferente.
Como orientación general, los criterios de estabilidad de los sistemas termodinámicos razonables y las relaciones relacionadas podrían ser útiles para adivinar los signos de las tasas de cambio.
Por ejemplo, en una situación típica, se espera que el compresibilidad
$$\beta=-\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial p}$$
para ser positivo. Las compresibilidades adiabática e isotérmica se definen para curvas de constante $S$ y $T$ respectivamente, por lo que la correspondiente línea adiabática o isotérmica en el $(T,S)$ -el diagrama se asociará a una curva $(p,V(p))$ en el $(p,V)$ -diagrama con
$$\frac{\partial V(p)}{\partial p}<0.$$
Esto se ve en el ejemplo del gas ideal (ver imagen), donde la isoterma es $V\propto \frac{1}{p}$ y el adiabate es también alguna potencia negativa de la presión $V(p)\propto \frac{1}{p^{\frac{1}{\gamma}}}$ con $\frac{1}{\gamma}>0$ .
Positividad de la capacidades térmicas $C_V$ o $C_p$ a volumen o presión constante es un ejemplo doble, que se relaciona con las propiedades de $S(T)$ de manera similar.
Además, el Relaciones con Maxwell correlacionar de forma cruzada las pendientes.
Por último, hay algunos principios, derivados de las leyes de la termodinámica, que prohíben algunas configuraciones de las curvas. Por ejemplo, dos adiabetos diferentes nunca pueden cruzarse dos veces, porque eso significaría una posibilidad de trabajo sin flujo de calor.
Pero como he dicho, además de ese razonamiento aproximado sobre las formas de los procesos cíclicos, si no sabes $T(p,V)$ etc. y no se puede calcular el calor o el trabajo, ¿cómo saber qué línea del $(p,V)$ ¿el diagrama corresponde a la isoterma o al adiabato? En el otro caso, es decir, si se conoce la ecuación de estado o alguna otra relación, entonces las dependencias se pueden calcular explícitamente, por supuesto.
mathuser4891
Puntos
211
Las ecuaciones de estado de una sustancia gibbsiana suelen darse en la forma $$T=f(p,V), \quad S=g(p,V)$$ para funciones adecuadas $f$ y $g$ . Entiendo que la consulta se refiere a cuándo podemos utilizarlos para expresar $p$ y $V$ en términos de $S$ y $T$ . Matemáticamente, esto significa que se pide una representación de la inversa del mapeo correspondiente $$(p,V)\mapsto (S,T)$$ del plano o de una parte del mismo. Para los modelos sencillos, esto puede hacerse resolviendo la ecuación resultante para $p$ y $V$ . Así, para el gas de Van der Waals en la forma $$T=\left (p + \frac 1 {V^2}\right )(V-b), \quad S = \frac 1 {\gamma-1} (\ln p + \gamma \ln V)$$ podemos calcular fácilmente que $$V=b+e^S T^{\frac 1 {1-\gamma}}\quad p=e^{-S}T^{\frac \gamma {\gamma-1}}-\frac a{(b+e^ST^{\frac 1 {\gamma-1}})^2}.$$ (El gas ideal es el caso especial $a=b=0$ ).
Para modelos más complicados, puede no ser posible calcular esta inversa explícitamente (por ejemplo, para un modelo debido a Feynman que permite el hecho de que el exponente adiabático depende de la temperatura) pero hay métodos numéricos disponibles (por ejemplo, en Mathematica uno tiene la opción NSolve).
En el aspecto más teórico, el teorema de la función inversa y el hecho de que el determinante jacobiano de la transformación anterior es $1$ (relación de Maxwell), asegura que esta inversa existe (al menos localmente).
