Lebesgue la Integral de la No-Medibles Función

Question

En lo que sigue sólo estoy considerando positivas las funciones con valores reales.

Mire por donde se mire acerca de la definición de la integral de Lebesgue es necesario considerar una función medible. ¿Por qué no definir la integral para la no-medibles funciones? A partir de lo que veo que requieren measurablility de las funciones simples que se aproximan a f no f sí mismo. La definición que me estoy planteando es dada una medida de espacio $X$ medida $\mu$ y una función medible $f$ definimos

$$ \int_E f \, \mathrm{d}\mu = \sup_{s \in S} \int_X s \,\mathrm{d}\mu $$ donde $S = \{ s : X \to [0, \infty) \mid 0 \le s \le f, s \text{ is simple, measurable} \}$.

Por ejemplo, considere el $\mathbb{R}$ con el sigma álgebra $\varnothing, \mathbb{R}$ medida $\mu$ $\mu(\varnothing) = 0, \mu(\mathbb{R}) = 1$ y considerar la posibilidad de $f = \chi_{[0,1]}$, entonces ¿por qué no podemos decir que $$ \int_{\mathbb{R}} f \,\mathrm{d} \mu = 0 $$ (puesto que la única medibles función simple, que $0\le s \le f$$s = 0$) que seguiría la definición anterior? Es que esto no está bien definido? En general yo estoy luchando para ver qué funciones medibles (aparte medibles funciones simples).

Answer 1

Además de los anteriores consejos, tenga en cuenta que la función que dio no "aproximado" $f$. Una aproximación secuencia $\{s_n\}$ $f$ ($f$fib $f$ eran medibles siempre que la medida de espacio para el dominio de $f$ es completa) tendría que estar dentro de una distancia de $\epsilon$ $f$ cualquier $\epsilon >0$. Sin embargo, la función de $s$ que dio como una "aproximación" no se puede aproximar $f$, en el sentido de que la secuencia de $\{s_n\}$ con $s_n=s$ $ \forall n \in \mathbb{N}$ no llega más cerca de lo que $1$$\chi_{[0,1]}$.

De nuevo, es importante tener en cuenta que una función $f$ en una medida completa del espacio de $X$ es medible si y sólo si $f$ es el pointwise límite de alguna secuencia de funciones simples -o, trivialmente, es una simple función de sí mismo. En consecuencia, cualquier secuencia de "simple" de las funciones de la aproximación de una nonmeasurable función debe contener una "simple" función con la función característica de un nonmeasurable establece como parte de su construcción. En un sentido, esta es la razón por la que usted debe incluir el supuesto de que $f$ es medible en su definición de la integral de Lebesgue.

A saber, recordar que la integral de una función característica es la medida de la retirada de establecer en su dominio; en el caso de los su $f$, ya que el $f$ es característico, la integral, se define, es la medida de la retirada, $$\int f d\mu = \mu\{f^{-1}\{1\}\}=\mu\{[0,1]\},$$

pero no se ha definido la medida para $[0,1]$, que no es ni siquiera en su $\sigma$-álgebra; ni podemos inferir que la medida de $[0,1]$ a partir de la definición que dio para su medida el espacio, como su colección de subconjuntos medibles ya está cerrado, $\sigma$- álgebra que es $\sigma$-finito en $\mu$ (por lo tanto, en la medida que el espacio no puede ser, incluso extendido, en la habitual Caratheodory manera, para incluir a $[0,1]$ con un acompañante bien definido de la medición).

Como curiosidad tangencial a su pregunta, es posible que nonmeasurable funciones a surgir a partir de límites de funciones simples en una medida completa del espacio, sino como una colección de funciones simples deben ser incontables. Por ejemplo, con la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$, tome $f=\chi_V$ a ser la característica de la función de la (incontables y nonmeasurable) conjunto de Vitali $V$$[0,1]$, y considerar la (innumerables) colección de funciones medibles $\{\chi_v\}, v\in V$. A continuación,$\chi_V=\sup \{\chi_v\}_{v\in V}$. Fuimos a definir una integral como usted desea, entonces en este caso, se puede decir que la integral de la $\int \chi_V = \sup \{ \int \chi_v \} = 0$. Pero, de nuevo, desde el $\chi_V$ es en sí misma característica, se debe recurrir a $\mu(V)=0$, pero $\mu(V)$ no está definida para $V$ por debajo de la medida de Lebesgue.

Para atender su solicitud de un recurso, consulte Royden del Análisis Real, 4ª ed., los capítulos 17 y 18 (especialmente pp 362-363 fueron útiles como referencia para mí para este post).

Answer 2

También, tal vez es útil para mostrar las malas propiedades de esta integral inferior cuando se aplica a los que no se pueden medir cardiovascular. Tome su $\{\varnothing, \mathbb R\}$ ejemplo. Deje $f = \chi_{[0,1]}$$g = 1-f$. A continuación, $\int f = \int g = 0$ pero $\int(f+g) = 1$. Así que incluso la simple linealidad falla.