Aunque los estudiantes rara vez son conscientes de este hecho, el Teorema de Pitágoras, como se describe por Euclides, no hace ninguna referencia a los números. Donde los estudiantes dicen que "el cuadrado de la hipotenusa," Euclides escribió "el cuadrado de la hipotenusa." Y la afirmación es que esto es igual a los cuadrados de los dos lados. "Aquí mismo" significa contenido, y "contenido" no es explicado más. Ninguna de las dos pruebas del Teorema de Pitágoras en los Elementos hace referencia alguna a la aritmética.
Hilbert, en su axiomatization, no se hace ninguna referencia a la aritmética. Pero de Hilbert axiomatization no es realmente adecuado para una mayor discusión de la OP de la pregunta.
Esto es debido a que Hilbert axiomatization de la geometría mucho muestra su edad. Su Axioma de Continuidad (integridad) es de segundo orden. Hilbert desarrolló el axiomatization muchos años antes de que él comenzó a tomar un interés serio en la Lógica.
Una más moderna de primer orden axiomatization, o la serie de axiomatizations, es debido a Tarski. De nuevo, los axiomas no mencionar o el uso de la aritmética. Pero, naturalmente, una versión del Teorema de Pitágoras es derivable de los axiomas.
Tarski demostró que su teoría es completa. Es recursivamente axiomatized, y por lo tanto, la teoría es decidable.
Esto me recuerda a una famosa respuesta que Euclides se dice que han hecho a uno de los Ptolomeos, cuando éste le preguntó si había un camino más fácil a la geometría de empujar su camino a través de la espesura de los Elementos (estoy parafraseando). Euclides se dice que contestó algo en el sentido de que no hay ningún camino real hacia la geometría.
Presumiblemente, la historia, como la mayoría de esas historias, es falso. Para una cosa, esencialmente la misma historia es contada de Menaechmus y Alejandro magno. Por otra parte, que pueden ser perjudiciales para dis un rey. Euclides seguramente no corre el riesgo de que su otorgamiento, y tal vez otras cosas, cortar.
De todos modos, si Euclides hizo hacer ese comentario acerca de la geometría, que él estaba equivocado. Cualquier rey o reina con acceso a suficiente potencia de cálculo puede sorbo de vino mientras la máquina de abdominales a través de un problema.
Supongo que debo remarcar que Tarski del algoritmo fue ineficiente. Pero más recientemente ha habido un progreso significativo.
De vuelta a los números! Tarski demostró que cualquier modelo por su geometría es isomorfo a la geometría de $\mathbb{F}^2$ donde $\mathbb{F}$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $0$. (Hilbert había demostrado, una especie de, de que la geometría de su sintéticamente plano definido fue la geometría de $\mathbb{R}^2$.)
Tarski del algoritmo para la geometría depende de la realidad (que demostró) que la teoría de la algebraicamente cerrado campos de la característica $0$ es completa. Desde la teoría de forma recursiva (pero no finitely) axiomatizable, es decidable. El procedimiento de la decisión elemental de la geometría implica la traducción de un problema geométrico, a través de coordinatization, en una sentencia de "álgebra elemental" y, a continuación, determinar si la frase es verdadera en un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$. Todos los campos son elementarily equivalente, de modo que si un enunciado es verdadero en uno de esos campos, es cierto en absoluto.
Tenga en cuenta que la Teoría de los números no puede ser desarrollado en el primer orden de teoría de los campos de la característica $0$. No hay ninguna fórmula $N(x)$ en la teoría de que $N(x)$ mantiene iff $x$ es un número entero. Como sabemos, en la escuela primaria de la Teoría de números, en contraposición a la teoría de la algebraicamente cerrado campos de la característica $0$, es indecidible.
Y por último, permítanme asegurarles que el OP que el Teorema de Pitágoras es cierto. Y ninguno de los habituales axiomatizations de la Teoría de números es consistente. Todos sabemos que, los axiomas son obviamente cierto en los enteros no negativos. Podemos demostrar que la consistencia de cualquier razonablemente útil axiomatization de la Teoría de los números no puede ser demostrado dentro de esa teoría, pero eso es un asunto completamente diferente.
