Probar que si $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B)= \mathcal P(A\cup B)$ entonces $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$.

Question

Demostrar que para cualquier conjuntos de $A$ o $B$ si $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B)= \mathcal P(A\cup B)$ entonces $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$. ($\mathcal P$ es el juego de poder.)

Estoy teniendo problemas para hacer cualquier progreso con esta prueba. He asumido que $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B)= \mathcal P(A\cup B)$, y estoy tratando de averiguar algunos casos puedo usar para que me ayude a demostrar que $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$.

La declaración de que $\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B)= \mathcal P(A\cup B)$ parece ser un poco inútil, aunque. Me parece que no puede hacer cualquier inferencias con lo que el rendimiento de cualquier nueva información acerca de cualquiera de los conjuntos que se aplica o elementos contenidos en él. El único "progreso" parece que soy capaz de hacer es que puedo concluir que $A \subseteq A \cup B$, o que $B \subseteq A \cup B$, pero no creo que esto me da nada que no sepamos ya. He probado bajando la contradicción camino también, pero no he sido capaz de encontrar nada allí.

Me siento como que me falta algo obvio aquí, aunque...

Answer 1

Sugerencia: en lugar de Intentar demostrar el contrapositivo:

Si $A \nsubseteq B$$B \nsubseteq A$,$\mathcal{P} ( A ) \cup \mathcal{P} ( B ) \neq \mathcal{P} ( A \cup B )$.

Recuerde que $E \nsubseteq F$ significa que hay un elemento de $E$ que no es un elemento de $F$.

Answer 2

Si $\mathcal P(A)\cup \mathcal P(B)=\mathcal P(A\cup B)$,$A\cup B\in \mathcal P(A)\cup \mathcal P(B)$, lo $A\cup B\in \mathcal P(A)$ o $A\cup B\in \mathcal P(B)$. Por lo tanto, $A\cup B\subseteq A$ o $A\cup B\subseteq B$, así que...

Answer 3

Tienes razón: $\wp(A)\cup\wp(B)\ne\wp(A\cup B)$ no, obviamente, dará mucho que trabajar; que a menudo es el caso con no es igual a las declaraciones. Cuando eso sucede, siempre vale la pena echar un vistazo a la contrapositivo: ¿la negación de la conclusión deseada darle más trabajar? De aquí que le da la hipótesis de que la $A\nsubseteq B\nsubseteq A$; no un subconjunto no necesariamente es mucho mejor que no es igual, sino que es una declaración acerca de los objetos más simples, y cuando re-expresadas en términos de los elementos de $A$$B$, resulta que para hacer el truco. Que Arthur Fischer excelente sugerencia.

El siguiente paso, por el camino, sería intentar una prueba por contradicción: que le da la 'más grande' hipótesis posible para trabajar con.

Sin embargo, la hipótesis original en realidad no hace más que puede parecer a primera vista, si usted piensa acerca de lo correcto. Es bastante obvio que a $\wp(A)\cup\wp(B)\subseteq\wp(A\cup B)$ siempre se mantiene, por lo $\wp(A)\cup\wp(B)\ne\wp(A\cup B)$ está diciendo realmente es que el $\wp(A)\cup\wp(B)\subsetneqq\wp(A\cup B)$, es decir, que $A\cup B$ tiene algún subconjunto $S$ que no es un subconjunto de a $A$ y no un subconjunto de a $B$. Dibuje un diagrama de Venn, y usted probablemente verá inmediatamente por qué, que conlleva $A\nsubseteq B\nsubseteq A$.