Área de un triángulo a partir de algunas de sus partes

Question

He encontrado esta pregunta hace un tiempo en el SAT examen de práctica o algo, no puede recordar. Por lo tanto, dado un triángulo acutángulo $ABC$ $P$ a un punto en su interior y $AP$, $BP$, y $CP$ reunión de los lados opuestos en $D$, $E$, y $F$ respectivamente:

¿Cómo se puede encontrar el área del triángulo $ABC$ dado las áreas de los triángulos $x$, $y$, y $z$?

Answer 1

Esto no era probable que haya sido un SAT práctica del problema, aunque es un típico concurso problema.

$AE:EC = x:y$ (desde los dos triángulos que tienen la misma altitud a $AC$, la razón de sus áreas es la relación de sus bases con respecto a la altitud) y $AP:PD = (x+y):z$ (la misma idea como $AE:EC$). Sabiendo estas dos proporciones, aplicar la técnica de la masa puntos, poniendo masas $zy$ $A, zx$ $C$ (da la relación de $x:y$$AE:EC$), y $y(x+y)$ $D$ (da $(x+y):z$$AP:PD$). Esto se traduce en una masa de $y(x+y)-zx$$B$, por lo que la relación de $BD:DC = zx:(y(x+y)-zx).$ Esto también se debe a la relación de las áreas de △ABD al △ADC (común altitud de nuevo), así que (área de △ABD):$(x+y+z) = zx:(y(x+y)-zx)$. De problemas a partir de ahí es una cuestión de golpear el álgebra.

Answer 2

Método 1: Se puede realizar una transformación afín para hacer ADC cualquier triángulo deseamos, mientras que la preservación de colinearality y las proporciones de las áreas. En particular, esto nos permite asignar coordenadas exactas a, D y C. a continuación, podemos utilizar la relación de x y de y para buscar el Correo y el cociente de z y x+y+z para encontrar P. a continuación, podemos utilizar estas coordenadas para encontrar B. una Vez que sabemos que B, sabemos que la proporción de AC a DC y, por tanto, la proporción del área de todo triángulo de las áreas conocidas.

Método 2: Vamos Q ser el área de todo triángulo

AE:EC=x:y=|AEB|:|BEC|
|APB|=xQ/(x+y)-x
|BPD|=yQ/(x+y)-y-z
Now AP:PD=x+y:z
z(xQ/(x+y)-x)=(x+y)(yQ/(x+y)-y-z)
Q(zx/(x+y)-y)=xz-xy-y^2-xz-yz=-xy-y^2-xz
Q(zx-xy-y^2)/(x+y)=(-xy-y^2-xz)
Q=(-xy-y^2-xz)*(x+y)/(zx-xy-y^2)