La convergencia de $\int\limits_{\mathbb{R}}\sum\limits_{n=1}^\infty f(nx+n!)dx$

Question

Me pueden ayudar con la siguiente pregunta?

Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua con la propiedad de que $\int_{-\infty} ^\infty |f(t)|\,dt < +\infty$.

Mostrar que para casi todos los $x\in \mathbb{R}$ (con respecto a la medida de Lebesgue) la serie $\sum_{n=1}^\infty f(nx+n!)$ converge y la fórmula $g(x):=\sum_{n=1}^\infty f(nx+n!)$ define un Lebesgue integrable de la función en $\mathbb{R}$.

Answer 1

Esta afirmación no es cierta en general.

No tome un negativo de la función de $f$ tal que $0<\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)d\mu(x)<+\infty$. Luego tenemos no negativo funciones de $g_n(x)=f(nx+n!)$. Por Beppo Levi teorema tenemos una medibles no negativas de la función $g(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty g_n(x)$ y además $$ \int\limits_{\mathbb{R}}g(x)d\mu(x)= \int\limits_{\mathbb{R}}\sum\limits_{n=1}^\infty g_n(x) d\mu(x)= \sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{\mathbb{R}} g_n(x) d\mu(x) $$ Tenga en cuenta que $$ \int\limits_{\mathbb{R}} g_n(x) d\mu(x)= \int\limits_{\mathbb{R}} f(nx+n!) d\mu(x)= \int\limits_{\mathbb{R}} f(nx) d\mu(x)= \frac{1}{n}\int\limits_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x) $$ así $$ \int\limits_{\mathbb{R}}g(x)d\mu(x)= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\int\limits_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)= \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)=+\infty $$ Así vemos que $g$ no es Lebesgue integrable.