Vamos a llamar a un grupo de $G$ homogéneo si para cada dos distintas, la no-identidad de los elementos $a$ $b$ hay un automorphism $\phi$ $G$ tal que $\phi(a)=b$.
El examen de esta definición, podemos ver que el subyacente grupo aditivo de cualquier campo (de hecho, cualquier división de anillo) es homogénea mediante el examen de la automorphism $\phi(x)=ba^{-1}x$.
Por lo tanto para cualquier $n$ y cualquier prime $p$, $Z_p^n$ es homogénea. Por el contrario, si también sabemos que $G$ es finito, podemos demostrar que $G$ es de la forma $Z_p^n$ algunos $n$$p$.
Podemos ver claramente que todos los elementos de un grupo homogéneo, tienen el mismo orden. Y por Cauchy teorema, tenemos que $G$ debe tener la prime-el poder de la orden. Decir $|G|=p^n$. La Clase Conjugacy Ecuación implica entonces que $G$ no trivial centro. Y desde $G$ es homogénea, todos los elementos están en el centro y por lo tanto $G$ es abelian. Desde $G$ es finito, abelian, y todos los elementos tienen el mismo orden, podemos concluir que $G$ es isomorfo a $Z_p^n$. Si no fuera el teorema fundamental de abelian grupos implicaría que hubo un elemento de orden $p^i$ $i>1$ contradiciendo el hecho de que todos los elementos tienen el mismo orden (de Cauchy teorema implica todavía hay un elemento de orden $p$).
Por lo tanto, finito, los grupos homogéneos son un poco aburrida. Infinitos ejemplos son los más interesantes ya que puede conseguir un par de ejemplos de los campos, y son más difíciles de investigar. Todavía podemos considerar un par de cosas al $G$ es infinito. Por ejemplo, si $G$ tiene una sola no-identidad de elemento finito de orden de todas las (no identidad) elementos de la $G$ primer orden.
Deje $x\neq e$ tiene orden finito $n$. Deje $n=p^em$ para algunos prime $p$$e\geq 1$$p\nmid m$. A continuación, el elemento $x^{p^{e-1}m}$ orden $p$, y por lo tanto todos los elementos tienen el fin de $p$.
También, en general,
- Si $G$ tiene un no-trivial centro de entonces es abelian.
- Cualquier cociente por una característica de los subgrupos es también homogénea.
Estoy teniendo dificultad en encontrar otro, aunque sea básico, de las cosas, aunque. Mi pregunta es de tipo general:
¿Qué otra cosa podemos determinar grupos homogéneos?
Estoy especialmente interesado en estas preguntas:
Qué $G$ tienen que ser abelian?Si no, puede $G$ ser perfecto?- Puede $G$ ser libre? Claramente no puede tener rango 1, pero ¿y el resto de los rangos?
- Si todos los elementos de primer orden, es $G$ una suma directa de copias múltiples de $Z_p$?
Pero cualquier adición es bienvenida y apreciada.
-ACTUALIZACIÓN
Qiaochu Yuan hábilmente ha respondido a tres de mis preguntas originales, pero uno sigue siendo, aunque puede ser difícil. Sin embargo, su respuesta me ha dejado intrigado por una prueba de la siguiente afirmación:
- Cada abelian, grupo homogéneo es el subyacente aditivo grupo de trabajo de campo.
No veo cómo se podría construir la operación de multiplicación, pero parece que la elección para el elemento que habría de ser la unidad es una elección libre.
