El dominio de $x^x$?

Question

Esto se ve simple, pero al parecer hay algo más que eso. $$f{(x)=x^x}$$ Leí en alguna parte que el dominio es $\Bbb R_+$, un amigo dijo que $x\lt-1, x\gt0$...

Estoy realmente confundido, porque no entiendo por qué el dominio no sólo de todos los números reales. De acuerdo a cualquier grapher en línea, el dominio es $\Bbb R_+$. Alguna idea sobre el tema?

Puede alguien explicar lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Dividirá en dos casos:

1. Al $x=p/q$ donde $p\in \mathbb Z,q\in\mathbb N_{>1},p\ne0,\gcd(p,q)=1$, entonces: $$x^x=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{p}{q}=\sqrt[q]{\left(\frac{p}{q}\right)^p}$$
   • al $p<0$ $$x^x=\sqrt[q]{\left(-\frac{q}{|p|}\right)^{|p|}}$$ si $p$ es incluso, a continuación, $\left(-\frac{q}{|p|}\right)^{|p|}$ es positivo, en caso contrario es negativo y la raíz no existir ni siquiera por $q$.
   • al $p>0$ $$x^x=\sqrt[q]{\left(\frac{|p|}{q}\right)^{|p|}}$$ y $\left(\frac{|p|}{q}\right)^{|p|}$ es siempre positivo.
2. Al $x\in\mathbb Z$ $x^x$ siempre existe con la excepción de $x=0$.
3. Al $x$ es irracional entonces la única forma de definir a $x^x$ es $$x^x=\exp(x\ln x)$$ and for real numbers we have $x>0$.

Resumiendo, $x^x$ existen para todos

• $x\in\mathbb R_+$
• $x\in\mathbb Z_-$
• $x\in\left\{ -\frac{p}{q}\in \mathbb Q\colon p,q\in\mathbb N_+ \land \gcd(p,q)=1\land q\text{ is odd}\right\}$

Por qué no vemos la parte negativa de la trama

1. Razón técnica: $x^x$ en los programas generalmente se define como exp(x*log(x)) y la función log(x) no se define por la negativa x.
2. Razón matemática: conjunto de negativos $x$ $x^x$ existe es contable. Contables muchos puntos no es suficiente para formar una curva.

Esta función puede ser trazado con puntos negativos $x$.

Answer 2

No estoy seguro de lo que su contexto matemático es, pero la función $f(x)=x^x$ está definido por $\mathbb{R}_+$ así como un countably conjunto infinito de racional de los valores en $\mathbb{Q}_-$. Por ejemplo, podemos encontrar $f(-\frac n3)$ todos los $n\in\mathbb{N}$. De hecho, no puedo con la confianza de escribir todo el conjunto de valores negativos en el dominio, pero cualquier $x=\frac n {1-2n}$ trabajará para empezar.

Algunos de los libros de texto no incluyen los valores negativos, debido a que forman una contables conjunto de números que tiene medida de Lebesgue cero.