¿Qué es media geométrica como integración a la media aritmética?

Question

La media aritmética de $y_i ... y_n$ es: $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n~y_i$$

Para un movimiento suave de la función $f(x)$, podemos encontrar la media aritmética de $f(x)$ de $x_0$ $x_1$ tomar $$n de las muestras y el uso de la fórmula de arriba. Como$$ n tiende a infinito, se convierte en una integración: $$\int_{x_0}^{x_1} f(x)~dx \sobre x_1 - x_0$$

Por otro lado, la media geométrica de $y_i ... y_n$ es: $$\left( \prod_{i=1}^n~{y_i}\right) ^{1/n}$$

Del mismo modo, podemos hallar la media geométrica de $f(x)$ tomar $$ n muestras.

Aquí está mi pregunta: $$ n tiende a infinito, ¿cómo llamamos a la resultante del objeto matemático? El geométrica de integración?

La media geométrica y la media aritmética, junto con la media cuadrática (raíz cuadrada media), la media armónica, etc, son caso especial de la generalizada media (con $p=0,1,2,-1$, respectivamente).

$$\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n~x_i^p\right) ^{1/p}$$

Tenemos una generalizada de integración para diferentes valores de p$$?

Answer 1

No es necesario introducir un nuevo concepto para esta. La media geométrica de $y_i$ no es nada pero $\exp$ de la media aritmética de $\log y_i$, y esto se generaliza en la manera directa de la integración: $$\exp\left(\frac{\int_{x_0}^{x_1} \log f(x)dx}{\int_{x_0}^{x_1} dx}\right).$$ Usted puede hacer lo mismo con la generalizada decir, la sustitución de $\log$ y $\exp$ con elevar a la potencia de $p$ y $1/p$ respectivamente. No soy consciente de si esto tiene un nombre específico, pero es muy similar al concepto de la $L^p$ norma de una función.

Answer 2

Hay un término para esto (en realidad, más de uno). Se llama el producto integral o multiplicativo integral, y junto con el correspondiente derivado de obtener lo que se llama producto de sarro o cálculo multiplicativo o no-Newtoniano de cálculo. Además, su idea de la obtención de las diferentes versiones de cálculo teniendo en cuenta la generalizada significa que se discute en este artículo por H. Vic Dannon.

La idea de la integración del producto, se remonta al menos a Vito Volterra a finales de 1800, y existen varias aplicaciones de la misma. El estándar de referencia es, probablemente, Dollard y Friedman texto en la Enciclopedia de las Matemáticas de la serie, Producto de la Integración con Aplicaciones a las Ecuaciones Diferenciales. (La descripción dice: "Este libro muestra la belleza de las simplificaciones que pueden ser llevados a la teoría de ecuaciones diferenciales mediante el tratamiento de tales ecuaciones del producto punto de vista integral.")

Sin embargo, como Rahul Narain señala, es fácil expresar el producto integral en términos de integración. Por esa razón, algunas personas no creen que es realmente nada nuevo.

Y para más información sobre el producto integral, consulte una de las referencias en la página de Wikipedia de los citados o esta o esta encuesta papel escribí hace un par de años.

Answer 3

No sé lo que significa generalizada de la integración la integración es simplemente el concepto de la adición de las cosas en una manera especial. No es muy diferente de la normal de totalización. Si te diera algún tipo de respuesta en términos de integrales no sería una generalización porque es en términos de integrales(no sería un nuevo concepto).

Ahora si tu preguntando por algún tipo de analógico a continuación, usted puede venir para arriba con $\left(\dfrac{1}{L}\int\left[f(x)^p\right] \right) ^ \dfrac{1}{p}$ y esto es efectivamente utilizado(casi, al menos)

http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space

Que yo sepa no hay ninguna cosa que es análoga a los productos integrales son sumas de dinero. Pero los espacios Lp mucho con la suma que se han dado debido a la forma en que la métrica se define. es decir, que su suma es simplemente la distancia en estos espacios(bueno, a escala por lo menos).

Answer 4

integral del producto sería lo contrario de la forma log base uno de: log h base de (f(xh) / f (x) y la inversa esta super derivado también puede ser representado como x f('x)/f(x)