¿Por qué la fórmula para el cálculo de una reflexión vector de trabajo?

Question

La fórmula para el cálculo de una reflexión vector es la siguiente: $$ R = V - 2N(V\cdot N) $$ Donde V es el incidente del vector y N es el vector normal al plano en cuestión.

¿Por qué esta fórmula de trabajo? No he visto ninguna buena explicaciones de la misma. No entiendo el significado de duplicar el vector normal, ni la relevancia de tomar el producto escalar.

Answer 1

$\langle V,N\rangle N$ es la proyección ortogonal de a $V$ a (la línea determinada por) $N$. Es decir, si quieres escribir $V$ como una suma de dos vectores ortogonales, $u$$n$, $u$ en el avión y $n$ tener la misma dirección como $N$ (que es ortogonal al plano), a continuación,$n = \langle V,N\rangle N$$u = V - \langle V,N\rangle N$.

Desde $N$ es normal al plano, el vector $u = V - \langle V,N\rangle N$ está en el avión. Es decir, $u$ es la proyección ortogonal de a $V$ sobre el plano.

Para tomar la reflexión, quieres ir al punto en el plano "directamente debajo de" $V$ (que es, a$u$) y, a continuación, ir en la opuesta dirección a donde $V$ es. Así que lo que están haciendo es simplemente revertir la componente normal para obtener la reflexión: en lugar de la adición de $\langle V,N\rangle N$, lo que resta es debido a que se invierte la dirección. Así que en lugar de $$V = \underbrace{\Bigl( V - \langle V,N\rangle N\Bigr)}_{\text{in the plane}} + \underbrace{\langle V,N\rangle N}_{\text{orthogonal to the plane}}$$ tomar $$\underbrace{\Bigl( V - \langle V,N\rangle N\Bigr)}_{\text{in the plane}} - \underbrace{\langle V,N\rangle N}_{\text{orthogonal to the plane}}.$$