Calcular el resto al $67!$ se divide por $71$.

Question

Esto es lo lejos que he sido capaz de conseguir.

Mediante el uso del Teorema de Wilson:

$$\begin{align} 70! &\equiv -1 \pmod{71} \\ 67!(68)(69)(70) &\equiv -1 \pmod{71} \\ 67!(68)(69)(-1) &\equiv -1 \pmod{71} \\ 67!(68)(69) &\equiv 1 \pmod{71} \\ \end{align}$$

EDIT: he Aquí cómo se procedió mediante TMM y Carl Mummert de sugerencias.

$$\begin{align} &68 \equiv -3 \pmod{71}\\ and\\ &69 \equiv -2 \pmod{71}\\ \end{align}$$

Así: $$\begin{align} 67!(-3)(-2) &\equiv 1 \pmod{71} \\ 67! &\equiv 6^{-1} \pmod{71} \\ \end{align}$$

Mediante el algoritmo de Euclides: $$71 = 6 \cdot 11 + 5$$ $$6 = 5 \cdot 1 + 1$$ $$5 = 1 \cdot 5 + 0$$

Ahora, yendo hacia atrás: $$\begin{align} 1 &= 6 - 5 \\ &= 6 - (71 - 6 \cdot 11) \\ &= 6 + 6(11) - 71 \\ &= 6(1 + 11) - 71(1) \\ &= 6(12) - 71(1) \end{align}$$

Por lo tanto, $67! \equiv 6^{-1} \equiv 12 \pmod{71}$.

Answer 1

Sugerencia: $$69 \equiv -2 \pmod{71}, \qquad 68 \equiv -3\pmod{71}.$$ Más ayuda: $72 = 6 \cdot 12$, por lo que la inversa de la que usted necesita para calcular no debería ser demasiado difícil...