Innumerables productos en la categoría de espacios métricos.

Question

Necesito demostrar que la categoría de $\mathrm{Met}$ de métrica espacios y continua de los mapas no posee innumerables producto de la no-un punto espacios.

Definición. Un par de $(X,\{\pi_\nu:\nu\in\Lambda\})$ donde $X\in\mathrm{Ob(Met)}$, $\pi_\nu\in \mathrm{Hom_{Met}}(X,X_\nu)$ se llama un producto de la familia de los espacios métricos $\{X_\nu:\nu\in\Lambda\}$ si para cada una de las $Y\in\mathrm{Ob(Met)}$ $\{\varphi_\nu:\nu\in\Lambda\}$ donde $\varphi_\nu\in \mathrm{Hom_{Met}}(Y,X_\nu)$ existen únicas $\varphi\in\mathrm{Hom_{Met}}(Y,X)$ tal que $\varphi_\nu=\pi_\nu\varphi$.

A mi pregunta. Asumir que todos los $\nu\in\Lambda$ el espacio $X_\nu$ contiene al menos dos puntos. Cómo se puede demostrar que para la familia de la métrica de los espacios de su producto no existe en $\mathrm{Met}$?

Mi intento podemos considerar el conjunto arbitrario $Y$ con discretos métrica, a continuación, cada conjunto theoreitc mapa $\varphi_\nu$, $\nu\in\Lambda$ será continua. Por lo tanto vemos que si el producto $X$ existe, entonces tiene que ser conjunto teórico producto de conjuntos de $\{X_\nu:\nu\in\Lambda\}$. Por otro lado, podemos considerar este producto imaginario como objeto de la categoría de espacios topológicos $\mathrm{Top}$. Si pudiéramos extender universal de los bienes de $X$ a los casos al $Y$ es sólo espacio topológico, entonces tendríamos que $X$ es un Tychonoff producto. Desde $\Lambda$ es incontable y espacios de $\{X_\nu:\nu\in\Lambda\}$ no son los únicos, entonces la topología de $X$ no es la primera contables y, por tanto, no metriazible. Pero esto no es una prueba, ya que no se puede extender universal de los bienes.

Me podría dar una pista, o darme algunas referencias relacionadas para mi pregunta?

Answer 1

Este era un interesante pregunta el hombre. Creo que las siguientes obras:

1. La categoría de métrica espacios admite contables de productos, a saber, el producto $\prod (X_i, d_i)$ está dado por $$(\prod X_i, d) \quad \quad d(x,y) = \sum_i \frac{d'_i(x_i, y_i)}{2^i}$$where $d'_i = \min\{d_i, 1\}$. This induces the standard product topology. In particular, any open set contains one of the form $$O \times \prod_{j \geqslant i} X_j\tag{*}$$where $O$ is open in the product $\prod_{j < i} X_j$.

2. Como se señaló en el comentario o la pregunta, como un conjunto $\prod_\nu X_\nu$ tendría que ser el conjunto de productos con la costumbre de proyección de mapas, en particular la $\pi_\nu$ cts, por lo tanto la métrica de la topología de contener el producto de la topología.

3. Para un punto de $x = (x_v)_{v \in \nu}$, podemos construir nbhs $$O_v = U_v \times \prod_{v' \neq v} X_v$$where $U_v \subsetneq X_v$.

4. Considerar la base para nbhs de $x$ dado por la apertura de bolas de radio $\frac{1}{n}$. Por palomar, para algunos $n$ la bola de radio $\frac{1}{n}$ estaría contenida en una cantidad no numerable de $O_v$, es decir,$$B_{1/n}(x) \subseteq \prod_I U_i \times \prod_{v \notin I} X_v$$where $ yo$ is uncountable. Thus we have $$B_{1/n}(x) \subseteq \prod_J U_j \times \prod_{v \notin J} X_v$$where $J$ is just a countable subset of $I$.

5. Considerar el subconjunto $$\prod_J X_J \times \prod_{v \notin J} x_v$$equipped with the induced metric/topology; by the univ. property of products one checks this is isomorphic to $\prod_J X_J$. At the end of point 4, we have found an open set of $\prod_J X_J$ which cannot contain any open set of the form $(*)$.

Déjame saber si usted encuentra errores o preguntas, etc.