Un ejemplo natural en la categoría de teoría

Question

Estoy buscando un natural ejemplo de una categoría $\mathcal{C}$ con límites finitos (o simplemente finito productos) en donde algún objeto $X$ no es isomorfo a un subobjeto de un habitada objeto. En otras palabras, $X$ es tal que no es $Y$ $\mathcal{C}$ equipada con monomorphisms $1 \to Y$$X \to Y$. Kudos si la categoría es también regular.

Estoy buscando un ejemplo de esto que podría ocurrir en la matemática de la naturaleza. En otras palabras, una categoría en la que un matemático podría encontrar sin buscar activamente un patológicos ejemplo. El objetivo es dar un ejemplo concreto de una categoría regular con límites finitos que no tienen co-productos en una realidad patológica.

Answer 1

Considerar, por ejemplo, la categoría de poleas (local homeomorphisms) $S^1$ conectado el espacio total.

Aquí la terminal de objeto (la identidad de) $S^1$, y deje $X:=\Bbb R$ con el estándar (spiralic) ciclismo $\Bbb R\to S^1:\ \ x\mapsto e^{ix}$. Si $X\subseteq Y$ es también una gavilla, y tiene un trivial sección $S^1\to Y$, $Y$ no está conectado.