¿Qué clases que me estoy perdiendo en la Picard enrejado de un Kummer 3d de la superficie?

Question

La construcción de la Kummer 3d de un Abelian superficie $A$, tenemos una obvia 22-dimensional colección de clases en $H^2(K3, \mathbb{Z})$ dado por la 16 (-2)-curvas (que por construcción no se cruzan entre sí), y el pushforward y la retirada de las seis clases de generación de $H^2(A, \mathbb{Z})$. Sin embargo, esto no es en todas las clases que necesito encontrar; la primera de todas, la intersección que se forma es incorrecta---ciertamente, no es unimodular.

En segundo lugar, hay un par de otras clases que puede ser construido geométricamente que faltan---por ejemplo, desde la $\sum_{i=1}^{16} E_i$, la suma de los divisores excepcionales, es la rama de locus de un 2-1 cubierta de K3, debe ser divisible por dos, que mi ingenua descripción de la falla.

En definitiva, lo que estoy esperando para hacer es producir una generación de función sumar sobre todos los efectivos de la curva de clases en el K3 (con coeficientes determinados por algunos GW-invariantes), pero como se ha dicho anteriormente, me faltan algunas clases cuya descripción no sé. He estado buscando a través de Barth, Peters, Van de Ven, y la mejor descripción que puedo encontrar es la Proposición VIII 3.7:

El conjunto de efectivos de clases en un Kahler 3d de la superficie es el semigroup generado por el nodal de clases y la integral de puntos en el cierre de la positiva cono.

Dicho esto, hay una buena descripción concreta de estas en algún lugar?

Answer 1

El entramado $L_{K3}=H^2(K3,\mathbb Z)$$2E_8+3U$, $E_8$ negativo definido e $U$ la hiperbólica de la celosía de la forma bilineal $xy$. Es unimodular y tiene la firma de $(3,19)$.

El 16 (-2)-curvas de $E_i$ formar un sublattice $16A_1$ de determinante $2^{16}$. No es primitivo en $L_{K3}$. La primitiva de celosía $K$ que contiene se calcula de la siguiente manera. Considere la posibilidad de una combinación lineal $F=\frac12\sum a_i E_i$$a_i=0,1$. Recordemos que $E_i$ son etiquetados por la 2-torsión puntos del torus $A$, es decir, los elementos del grupo $A[2]$.

A continuación, $F$ está en $K$ $\iff$ la función de $a:A[2]\to \mathbb F_2$, $i\mapsto a_i$, es afín-lineal. Usted encontrará la prueba de esta afirmación en Barth-(Hulek-Peters-van de Ven "Pacto superficies complejas", VIII.5. (El elemento $\frac12\sum E_i$ en el ejemplo corresponde a la función constante 1, que es afín lineal). Por lo tanto, $K$ índice de $2^5$ $16A_1$ y su determinante es $2^{16}/(2^5)^2=2^6$.

$K$ se llama la Kummer celosía. Por lo anterior, es hormigón con una negativa definitiva de celosía de rango 16 con determinante $2^6$. Nikulin demostrado que un 3d de la superficie es un Kummer superficie iff $Pic(X)$ contiene $K$.

El complemento ortogonal $K^{\perp}$$K$$L_{K3}$$H^2(A,\mathbb Z)$, pero con la intersección de la forma multiplicado por 2. Como un entramado, es isomorfo a $3U(2)$. Se ha determinante $2^6$, el mismo que $K$. El entramado $L_{K3}=H^2(K3,\mathbb Z)$ es recuperado de la primitiva ortogonal sumandos $K$$K^{\perp}$.

Sin embargo, su pregunta tiene "Picard celosía" en el título. El grupo de Picard de $X$ es estrictamente menor que $H^2(X,\mathbb Z)$. Para empezar, tiene la firma de $(1,r-1)$, no $(3,19)$. Para un Kummer superficie, contiene Kummer celosía $K$ descrito anteriormente, y su intersección con la a $K^{\perp}$ es la imagen del grupo de Picard de $A$. Para un Kummer una superficie ha $r=17,18,19$ o 20.

Para el Mori-Kleiman cono de efectivo de las curvas, lo que usted necesita para Gromov-Witten la teoría, la descripción de poner en una caja, es la mejor posible.

Answer 2

• Si desea Kummer superficies completamente disecados, mira Kummer del cuarto grado de la superficie, por R. W. H. T. Hudson., específicamente los capítulos XIII, XIV.

• A veces, la cosa más fácil de hacer es el proyecto de Kummer de la superficie (que sale de forma natural en P³) desde uno de los nodos a P². La tangente de cono para el nodo de proyectos para un quadric, las líneas de 6 a través del nodo de proyecto 6 líneas tangentes a la quadric - son la ramificación del lugar de la proyección. El 15 otros nodos del proyecto a los 15 puntos de intersección de las líneas de 6. Para que una curva para levantar los Kummer superficie tiene que cruzan incluso con la multiplicidad, la ramificación locus en todos los puntos de intersección.