Estoy buscando una forma cerrada (idealmente expresadas como funciones elementales) de la función de $\exp_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k / k!$. Ya soy consciente de expresarlo en términos de la función gamma.
Antecedentes / Motivación
Cuando el conteo de combinaciones de objetos con funciones de generación, es útil ser capaz de expresar la suma parcial $1 + x + \cdots + x^n$$\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$. Por ejemplo, para contar el número de maneras de elegir 5 canicas de una bolsa de color azul, rojo, verde y mármoles donde nos recoger en la mayoría de los 3 canicas azules y en la mayoría de los 2 canicas rojas, se puede considerar que la generación de la función $f(x) = (1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2)(1+x+x^2+\cdots)$.
Mediante el uso de la suma parcial de la identidad, podemos expresarlo como $f(x) = \left(\frac{1-x^4}{1-x}\right)\left(\frac{1-x^3}{1-x}\right)\left(\frac{1}{1-x}\right)$. Simplificar, expresa como simple producto de la serie, y encontrar el coeficiente de la $x^5$ plazo.
Quiero ser capaz de hacer lo mismo para una generación de función en forma $g(x) = \exp_{n_1}(x)^{p_1} \exp_{n_2}(x)^{p_2} \cdots \exp_{n_j}(x)^{p_j}$
La forma más fácil de extraer el coeficiente de un término determinado $x^p / p!$ sería el uso de un cerrados similares forma de expresión para $\exp_n(x)$ y una técnica similar a $f$.
Intento De Soluciones
La ecuación diferencial
Recordemos que la manera de demostrar la identidad de $1+x+x^2+\cdots+x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ es definir $S = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n$ y aviso: $S - Sx = 1 - x^{n+1}$. Asimismo, observe que $y(x) = \exp_n(x)$ satisface $y - y' = x^n/n!$. A través de la SALVIA, la solución es $y(x) = \frac{c+\Gamma(n+1,x)}{n!}e^x$. Nuestra condición inicial $y(0) = 0$$c=0$. Por (2), $\Gamma(n+1,x) = n! e^{-x} \exp_n(x)$, por lo que tenemos $y(x) = \exp_n(x)$.
La Recurrencia De La Relación
Observe que $\exp_n(x) = \exp_{n-1}(x) + x^n/n!$. El uso de la Z unilateral de Transformación y propiedades relacionadas, nos encontramos con que $\mathcal{Z}[\exp_n(x)] = (z e^{x/z})/(z-1)$.
Por lo tanto, $\exp_n(x) = \mathcal{Z}^{-1}\left[(z e^{x/z})/(z-1)\right] = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C z^n e^{x/z}/(z-1)\;dz$.
$(z^n e^{x/z})/(z-1)$ tiene dos singularidades: $z = 1$$z = 0$. El punto de $z = 1$ es un polo de orden uno con residuo $e^x$. Para encontrar el residuo de a $z = 0$ considere que el producto $z^n e^{x/z} (-1/(1-z)) = -z^n \left( \sum_{m=0}^\infty x^m z^{-m} / m! \right) \left( \sum_{j=0}^\infty x^j \right)$. El coeficiente de la $z^{-1}$ plazo se da cuando la $n - m + j = -1$. El residuo de el punto de $z=0$ luego $-\sum_{m,j} x^m / m! = -\sum_{m=n+1}^\infty x^m / m!$.
Deje $C$ por la orientación positiva de la unidad de círculo centrado en el origen. Por Cauchy del Teorema de los Residuos, $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C z^n e^{x/z}/(z-1)\;dz = \frac{1}{2 \pi i} 2 \pi i \left(e^x - \sum_{m=n+1}^\infty x^m / m!\right) = \exp_n(x)$.
Cálculo Finito
He tratado de evaluar la suma usando cálculo finito, pero parece que no puede hacer mucho progreso.
