¿Son los ideales del álgebra de Lie invariantes bajo la acción del adjunto?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico conexo sobre un campo de característica $p \geq 0$ y que $H < G$ sea un subgrupo cerrado conectado.

Si el álgebra de la mentira $\mathfrak{h}$ de $H$ es un ideal del álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ de $G$ es $\mathfrak{h}$ invariante bajo la acción adjunta de $G$ en $\mathfrak{g}$ ?

Sé que esto es cierto si $H$ es un subgrupo normal. También es cierto si $p = 0$ porque entonces existe una biyección entre los subgrupos normales conectados y los ideales del álgebra de Lie.

¿Qué pasa cuando $p > 0$ ?

Answer 1

No. Deja que $k$ sea un campo de característica $p$ y definir una estructura de grupo en $\mathbb{A}^2_k$ por $$(x_1, x_2) \ast (y_1, y_2) = (x_1+y_1, x_2+y_2 + x_1 y_1^p)$$ $$(x_1, x_2)^{-1} = (-x_1, -x_2 + x_1^{p+1})$$ Tenemos $$[(x_1, x_2), (y_1, y_2)] = (x_1,x_2) (y_1,y_2) (-x_1, -x_2 + x_1^{p+1}) (-y_1,-y_2+y_1^{p+1})$$ $$=(0,x_1^p y_1 -x_1^p y_1 ).$$ Así que el conmutador es trivial de segundo orden, y el álgebra de Lie es abeliana. Por lo tanto, cada subespacio es un ideal.

Calculamos la acción adjunta: $$(x_1,x_2) (y_1, y_2) (-x_1, -x_2+x_1^{p+1}) = (y_1, y_2 + x_1 y_1^p - y_1 x_1^p) \equiv (y_1,y_2-x_1^p y_1) \bmod \langle y_1,y_2 \rangle^2.$$ Así que $$Ad((x_1,x_2)) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -x_1^p & 1 \end{bmatrix}.$$ y calculamos que (por ejemplo) el ideal $(t,0)$ no está fijada por la acción adjunta.