Demostrar que no hay ningún tipo de diferentes números positivos que satisfacen ambas de $a+b=c+d$$a^3+b^3=c^3+d^3$.

Question

$a,b,c$ $d$ son todos diferentes y positivas. Demostrar que no puede ser cierto que las igualdades $a+b=c+d$ $a^3+b^3=c^3+d^3$ son correctos al mismo tiempo. Yo lamentablemente no sé cómo empezar a tratar de resolver esto y no he tratado mucho, así que me gustaría obtener algunas ideas. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: el factor de la LHS y RHS y ver qué pasa.

Answer 2

Otra manera es sólo para reemplazar al $d$ $a+b-c$ y, a continuación, el factor de $a^3+b^3-c^3-d^3=0$. El resultado es $$ - 3(a + b)(a - c)(b - c)=0. $$ El resultado de la siguiente manera.

Answer 3

Sugerencia: Se puede derivar que el $ab=cd$ (¿cómo?)

Entonces \begin{cases} a-c=d-b\\ ab-cd=0 \end{casos} Si consideramos esto como un sistema lineal en $a$$c$, ...

Answer 4

Si tenemos $a+b=c+d$ con todos los diferentes números enteros positivos, podemos muy bien suponer $a$ es el más pequeño de ellos y escribe $c=a+r$ $d=a+s$ con enteros positivos $r$$s$, en cuyo caso $b=a+r+s$. Un poco de álgebra muestra que

$$(a^3+b^3)-(c^3+d^3)=6ars+3r^2s+3rs^2\gt0$$

por lo $a^3+b^3$ no puede igualar $c^3+d^3$.