¿Encuentra el valor de $\space\large i ^ {i ^ i} $?

Question

¿Es $\large i ^ {i ^ i} $ real? ¿Cómo se encuentra?

¡Gracias!

Answer 1

$i ^ i = e ^ {i\log i} $

En la rama principal, usando ahora $i = e ^ {i\pi/2} \implies \log = le da i\pi/2$ $i ^ i = e ^ {-\pi/2} $

Por lo tanto, $i ^ {me ^ i} = i ^ {e ^ {-\pi/2}} = e ^ {e ^ {-\pi/2} \log me} = e ^ {i(\pi e^{-\pi/2})/2} = \cos\left (\pi \frac{e^{-\pi/2}}{2}\right)+i\sin\left(\pi \frac{e^{-\pi/2}}{2}\right)$

y por lo tanto su parte imaginaria es $\neq 0$ \frac{e^{-\pi/2}}{2}$ $ no es un entero.

Answer 2

Potencias complejas pueden tener más de un valor. En nuestro caso $$ ^ i = e ^ {me \log me} = \exp \left (me \left (\ln (1) + \frac{\pi}{2}+2\pi k i\right) \right) = e ^ {-\frac {\pi} {2} + 2\pi k} $$ donde $k$ es un número entero. Así $$ ^ {^ me} = e ^ {i ^ me \log(i)} = \exp\left (e ^ {-\frac {\pi} {2} + 2\pi k} \cdot\left(i \frac{\pi}{2}+2\pi l i\right)\right), $$

que es de $ $e a un poder imaginario. Por lo tanto es un punto en el círculo unitario, pero nunca se puede elegir real.

Answer 3

Wolfram Alpha da la respuesta que:

$0.94715899... + 0.320764449... i$.

Por lo tanto no es un número real, ya que la respuesta tiene un componente imaginario.

Answer 4

Tenemos $i ^ i = (e ^ {i\pi 2}) ^ i = e ^ {-\pi 2} $. Entonces, $$ ^ {me ^ i} = i ^ {e ^ {-\pi 2}} = (e ^ {-i\pi 2}) ^ {e ^ {-\pi 2}} = e ^ {-i\pi e ^ {-\pi 2} / 2} = \cos (\pi e ^ {-\pi 2} / 2)-i\sin (\pi e ^ {-\pi 2} / 2) $$ $ $\sin(\pi e^{-\pi /2}/2) es distinto de cero, desde $e ^ {-\pi 2} / 2$ no es un entero.

Answer 5

Primero encuentra todos los valores de $i ^ i$. Entonces, si $\beta$ es uno de los valores, un valor de $i ^ {i ^ i} $ es $(e ^ {i\pi/2}) ^ {\beta} $. O $(e ^ {-3i\pi/2}) ^ {\beta} $.