$\sum\limits_{n=1}^{10000000000000000} \frac{1}{n}$

Question

¿Cómo wolfram alpha solucionar $$\sum\limits_{n=1}^{10000000000000000} \frac{1}{n}\approx 37.4186$$tan rápidamente? Se resolvió en 3 segundos hay una ecuación o algo

Answer 1

Se puede probar que

$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = \ln(N) + \gamma + O(1/N)$$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante, la cual es definida por la ecuación y ha sido tabulados en bastante detalle (se trata de $0.577216$). El primer término viene de darse cuenta de que $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}$ es una suma de Riemann para el cálculo de $\int_1^N \frac{1}{y} dy = \ln(N)$. Los otros dos términos son correcciones.

De esto se sigue que

$$\sum_{n=1}^{10^{16}} \frac{1}{n} \approx \ln \left ( 10^{16} \right ) + \gamma$$

donde el error es algo como $10^{-16}/2$, debido a que uno puede demostrar que las $O(1/N)$ plazo es menor que $1/(2N)$.

Answer 2

Sí, en resumen no es una ecuación. Cuando estás sumando continuamente una función derivable, se ha "Sumación de Euler", $$ \sum_{y \leq n \leq x} f(n) = \int_y^x f(t)dt + \int_y^x (t - \lfloor t \rfloor)f'(t)dt + f(x)(\lfloor x\rfloor - x) - f(y)(\lfloor y \rfloor - y).$$ Aplicado a $f(x) = \frac{1}{x}$, se obtiene $$\sum_{m \leq n} \frac{1}{m} = \log n + \gamma + O(1/n),$$ donde $\gamma$ es el de Euler Mascheroni constante.

Para comprobar, $$\ln(10000000000000000) + \gamma = 36.8413615 + 0.5772156649 = 37.4185771649.$$

Answer 3

podemos utilizar los números primos en la serie geométrica como sigue $$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...1/3+1/9+1/27+...+1/5+1/25+1/125+...$$ $$1+\frac{1/2}{1-1/2}+\frac{1/3}{1-1/3}+\frac{1/5}{1-1/5}+....$$