Lo que la curvatura $2$-forma realmente representa?

Question

Deje $(E,\pi,B)$ ser director de un paquete con la estructura de grupo $G$. La conexión de $1$-formulario puede ser pensado como una proyección en la parte vertical. Nos permite caracterizar la horizontal subespacios como $H_p E = \ker \omega_p$ entonces.

Aparte de eso, hay la curvatura $2$-forma. Este objeto se define de la siguiente manera: vamos a $\operatorname{hor}$ significa que el operador de proyección de tomar un campo vectorial a su parte horizontal. Entonces, si $\eta$ $k$- forma en $E$ su exterior derivada covariante es el $k+1$ formulario $D\eta$ definido por

$$D\eta(X_1,\dots,X_{k+1}) = d\eta(\operatorname{hor}X_1,\dots,\operatorname{hor}X_{k+1}).$$

Llamamos a la curvatura $2$-formulario a continuación, el diferencial de la forma $\Omega = D\omega$ donde $\omega$ es la conexión de $1$-forma.

Aunque la definición es perfectamente claro que yo no puede entender lo que este objeto representa realmente. Me refiero, a la hora de definir la curvatura de las curvas en el espacio, la curvatura está destinada a representar lo mucho que la curva se desvía de una línea recta. Por otro lado, cuando la lectura de libros sobre la teoría General de la Relatividad hace algún tiempo, leí que la curvatura de la de Levi-Civita de conexión está diseñado para codificar la información de la diferencia entre un paralelo transportados vector alrededor de un bucle y el inicio del vector. Estas dos ideas son más geométrica. Esta curvatura $2$-forma, por otro lado, yo no puede entender lo que realmente representa.

Así, lo que la curvatura $2$-forma realmente representa? Cómo se relaciona con aquellas otras ideas de curvatura? Y cómo esta intuición es capturado por la definición rigurosa?

Answer 1

Recuerde que estamos trabajando con los principales paquetes. Por lo tanto, contrariamente a lo que otras personas parecen pensar, una curvatura $2$-forma no es la misma cosa como una curvatura de Riemann tensor. Sin embargo, podemos obtener una curvatura de Riemann tensor de que, en casos específicos. Podemos hablar de que la construcción momentáneamente.

Deje $P$ principal $G$-bundle con proyección a $\pi:P\to B$. La fijación de una forma de conexión $\omega$ $P$ y una proyección de $h:TP\to HP$, podemos definir la curvatura $2$forma $\Omega$$\Omega(X\wedge Y)=\mathrm{d}\omega(hX\wedge hY)$. Ampliar esto un poco más, llegamos $$\Omega(X\wedge Y)=hX(\omega(hY))-hY(\omega(hX))-\omega([hX,hY])=-\omega([hX,hY]).$$

¿Cómo podríamos interpretar que? Bueno, me gusta pensar en ello como una medida de cómo vertical en el soporte de la horizontal de proyección.

Ahora, si tenemos en cuenta el marco bundle $F_{GL}M$ de un buen colector $M$, entonces podemos obtener una conexión en $F_{GL}M$ y pasar esa información a $M$. Sin embargo, con el fin de hacer esto, tenemos que hablar en términos de marcos específicos para obtener las proyecciones, que conduce a la méthode du repère móvil o, más o menos traducido, "el método de movimiento de marcos." Con esto, podemos esencialmente interpretar $R$ como la "transmisión de la versión de $\Omega$$M$".