Si yo fuera a representar a un estado en el cubo de Rubik como una permutación de los colores en el 9 baldosas por cada lado en todos los lados del cubo, podría llegar a todos los estados posibles (es decir, colorantes) por las permutaciones permitido por el cubo solo? En otras palabras, hay una legal para colorear tal que es inalcanzable desde el estado inicial (cada cara del cubo tiene su propio color distintivo) ?
muchas gracias!
Hay diferentes maneras de definir "legal".
En un comentario, el OP postula que legal podría significar
por lo legal me refiero a que para un cubo de 3x3x3 hay exactamente 9 baldosas con el mismo color, y hay 6 colores diferentes.
En cuyo caso la existencia de "legal" de que los colorantes no se puede llegar por la norma cubo de Rubik se mueve es trivial: se observa que un cubo de Rubik mover sólo envía
Así que si usted cáscara de la Roja en el centro de la pieza de la etiqueta engomada y de intercambio con la pegatina de un borde azul pieza, usted todavía tendrá 9 "de tejas rojas", pero no "roja en el centro del azulejo", por lo que no se puede llegar por una norma de permutación.
Bueno por lo que tal vez usted quiere fortalecer la condición sobre las baldosas. Puede ser que la enmienda de la definición legal de ser
Una configuración de color es legal si hay un total de 6 colores, cada color tiene 9 azulejos, y de las 9 fichas 1 centro de la pieza, 4 pedazos de la esquina, y 4 piezas de los bordes.
Esto todavía no es suficiente para garantizar que el cubo es solucionable. Una de las propiedades de la norma de Rubik cubo se mueve es que enfrente de los centros no se puede hacer adyacentes. Así que toma un resuelto un cubo estándar, con (suponiendo) blanco la parte superior de la cara, el azul de la parte inferior de la cara, y el rojo está de un lado de la cara. Si usted toma un arbitrario borde de la etiqueta engomada apagado el lado azul, y el swap con el borde rojo de la etiqueta engomada que es adyacente a la cara blanca ha creado un imposible cubo, porque el cubo tiene ahora una ventaja de cara con blanco/azul, pero azul y blanco de los centros no puede ser nunca adyacentes.
Así que está bien, que es todavía un trivial imposibilidad. Tal vez necesitamos fortalecer nuestras definiciones aún más. La siguiente suposición natural es entonces
En un cubo resuelto hay 12 aristas y 8 esquinas. Cada arista tiene dos colores. Cada esquina tiene 3. Decimos que una configuración de color que es "legal" si se tiene un total de 6 colores, 9 piezas de cada color, con 1 en el centro, 4 en el borde, y 4 en la esquina. Además, se requiere que las combinaciones de color para los bordes y las esquinas están en una correspondencia uno a uno con los disponibles en un cubo resuelto.
De hecho, este resulta ser lo que yo llamo el "tomar el cubo aparte y volver a montar" definición. (Usted sabrá lo que quiero decir si alguna vez has tratado de tomar distancia de un cubo de Rubik.)
En esta situación hay todavía imposible configuraciones: por ejemplo, si usted se levante una sola pieza del borde y volver a insertar "al revés". La prueba de que tales configuraciones son imposibles es más difícil, y requiere aprender algo de teoría de grupos. (Vea el capítulo 11 de esta exposición.) Pero la idea fundamental detrás del argumento es la misma que la de los casos anteriores: uno tiene que encontrar "algebraicas invariantes", que describen la configuración del cubo, y que los valores se cambian por el cubo de Rubik se mueve. Mediante la construcción de una configuración con un valor diferente para las invariantes en comparación con el cubo resuelto, se puede obtener un ejemplo de que se puede demostrar que no se pueda resolver.
En el primer ejemplo, el algebraicas invariantes son el "número de edge/centro/esquina azulejos por color". En el segundo ejemplo, el algebraicas invariantes son "el número de bordes compartidos por dos colores". Para el tercer ejemplo, los invito a leer el vinculado archivo PDF.
Si recuerdo correctamente, 1/6 de las permutaciones son accesibles. El total borde de la paridad (mod 2) y la esquina de torsión (mod 3) tiene que ser la misma que la posición de partida.
Edit: según el documento vinculado en los comentarios debajo de la pregunta hay un adicional de paridad de condiciones, y la fracción de accesible posiciones es 1/12.
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