estimador de máxima método más conocido como el MLE de una distribución uniforme

Question

Deje $ X_1, ... X_n $ de una muestra de variables aleatorias independientes con distribución uniforme $(0,$$ \theta $$ ) $ Encontrar un $ $$ \widehat\theta $$ $ estimador para theta utilizando el estimador de máxima método más conocido como MLE

Answer 1

Este ejemplo es elaborado en detalle aquí (páginas 13-14).

Answer 2

Primera nota de que $f\left({\bf x}|\theta\right)=\frac{1}{\theta}$ , para $0\leq x\leq\theta$ $0$ en otros lugares.

Deje $x_{\left(1\right)}\leq x_{\left(2\right)}\leq\cdots\leq x_{\left(n\right)}$ ser el orden de las estadísticas. Entonces es fácil ver que la probabilidad de la función está dada por $$L\left(\theta|{\bf x}\right) = \prod^n_{i=1}\frac{1}{\theta}=\theta^{-n}\,\,\,\,\,(*)$$ para $0\leq x_{(1)}$ $\theta \geq x_{(n)}$ $0$ en otros lugares.
Ahora tomando la derivada del registro de Probabilidad wrt $\theta$ le da:

$$\frac{\text{d}\ln L\left(\theta|{\bf x}\right)}{\text{d}\theta}=-\frac{n}{\theta}<0.$$ Así que podemos decir que $L\left(\theta|{\bf x}\right)=\theta^{-n}$ es una función decreciente de $\theta\geq x_{\left(n\right)}.$ Usando esta información y (*) podemos ver que $L\left(\theta|{\bf x}\right)$ es maximizada en $\theta=x_{\left(n\right)}.$ por lo tanto el de máxima verosimilitud estimador $\theta$ está dada por $$ \hat{\theta}=x_{\left(n\right)}.$$