Descripción matemática de una muestra aleatoria

Question

Descripción matemática de una muestra aleatoria: que uno es y por qué?

1. $X_1(\omega), X_2(\omega), ..., X_n(\omega)$ donde $X_1, ..., X_n$ son diferentes pero yo.yo.d. variables aleatorias.

2. $X(\omega_1), X(\omega_2), ..., X(\omega_n)$ donde $X$ es un (único) de la variable aleatoria.

Answer 1

Digamos que el resultado de un experimento es una n-tupla de números reales. Cuando aceptamos a 1. como modelo de nuestro experimento, tenemos una probabilidad del espacio $\Omega$ y una variable aleatoria $$ X: \Omega \to \mathbb{R}^n $$ El resultado de un experimento corresponde a un $\omega \in \Omega$ y por lo tanto a una n-tupla $(X_1(\omega), ..., X_n(\omega))$. Este modelo nos permite preguntar si los elementos de este n-tupla son independientes y si no, cuál es su distribución conjunta es.

Si aceptamos 2. como modelo, se tiene una probabilidad del espacio $\Omega$ y una tupla de variables aleatorias $$ X_i: \Omega \to \mathbb{R} $$ de modo que el n-tupla es una variable aleatoria de la probabilidad de espacio $\Omega^n$ (producto Cartesiano). Así, en este caso, la independencia de los elementos de la tupla está integrado en el modelo. Si los elementos de la tupla que se supone que para ser independiente, no importa.

Tenga en cuenta que en el primer caso podemos establecer $X_i = X_j$, ya sea estricta o módulo de un conjunto null; en este caso vamos a tener una tupla de variables aleatorias idénticamente distribuidas. Opción no.1 no implica necesariamente que los elementos de la n-tupla son diferentes las variables aleatorias (ya sea estrictamente diferentes o módulo de un conjunto null).

Answer 2

Gracias a la estimulación de discusión con @Didier, he aclarado algo para mí. Desde el punto de vista técnico, tenemos $n$ variables aleatorias en la opción 1, y $n$ números en la opción 2. El problema con esto puede ser ilustrado con el siguiente ejemplo. Considere la posibilidad de 3 personas distintas de producir sus propias muestras aleatorias de tamaño 5 al lanzar un dado. Aquí es lo que obtienes:

1 persona: 1, 3, 1, 4, 2 $\;\;\;\rightarrow$ $X_1(\omega'), X_2(\omega'), ..., X_5(\omega')$
2 persona: 2, 2, 1, 6, 3 $\;\;\;\rightarrow$ $X_1(\omega''), X_2(\omega''), ..., X_5(\omega'')$
3 persona: 1, 4, 2, 1, 3 $\;\;\;\rightarrow$ $X_1(\omega'''), X_2(\omega'''), ..., X_5(\omega''')$

En el lado derecho, he utilizado la opción 1 para el código de estos resultados. Cómo un código de uso de la opción 2? Vamos a intentar esto:

1 persona: 1, 3, 1, 4, 2 $\;\;\;\rightarrow$ $X(t_1), X(t_2), ..., X(t_5)$
2 persona: 2, 2, 1, 6, 3 $\;\;\;\rightarrow$ $X(t_1), X(t_2), ..., X(t_5)$
3 persona: 1, 4, 2, 1, 3 $\;\;\;\rightarrow$ $X(t_1), X(t_2), ..., X(t_5)$

($t$ es para "juicio número"). Bueno, esto claramente no funciona. Lo que acerca de esto:

1 persona: 1, 3, 1, 4, 2 $\;\;\;\rightarrow$ $X(\omega_1), X(\omega_3), ..., X(\omega_2)$
2 persona: 2, 2, 1, 6, 3 $\;\;\;\rightarrow$ $X(\omega_2), X(\omega_2), ..., X(\omega_3)$
3 persona: 1, 4, 2, 1, 3 $\;\;\;\rightarrow$ $X(\omega_1), X(\omega_4), ..., X(\omega_3)$

Esto parece funcionar, pero la forma de escribir de una manera general?

persona ?: ?, ?, ?, ?, ? $\;\;\;\rightarrow$ $X(?), X(?), X(?), X(?), X(?)$

Creo que es este el punto en el que llegamos a una notación general especificado en la opción 1.

Answer 3

La primera línea es una notación para "$n$ funciones $X_i$, calculada en la misma entrada (que no fue elegido al azar) $\omega$". Por ejemplo, $\sin(t), \cos(t), \exp(t), \dots$ donde $t$ es un elegido al azar entero entre 1 y 128. Total de la información en este conjunto de números aleatorios es de 7 bits, no importa cuán grande $n$ es. El seno, el coseno, exponencial y de $t$ no son independientes.

La segunda línea se describe: "una función de $X$ calculado en $n$ aleatorios diferentes entradas de $\omega_i$". Por ejemplo, $X(t)$ $t^{\rm th}$ usuario en la de matemáticas.SE userlist donde $t$ es un número entero de 1 a 128. Si usted hace $n$ elecciones al azar de $t_i$ la cantidad de información en la lista de $X(t_1), \dots, X(t_n)$ $7n$ bits; cada una de las $X(t_i)$ es independiente de los demás.

Sólo el segundo corresponde a un yo.yo.d muestra aleatoria de $n$ objetos. Para describir un ejemplo de la notación utilizada en (1), $\omega$ debe depender de $n$,$\omega = (\omega_1, \dots, \omega_n)$. La notación que se da en la pregunta no incluye explícitamente cualquier dependencia.

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[agregado en la luz de los comentarios de la discusión]

La pregunta original no especifica precisamente lo $X$ $\omega$ significa:

Descripción matemática de una muestra aleatoria: que uno es y por qué?

1. $X_1(\omega), X_2(\omega), ..., X_n(\omega)$ donde $X_1, ..., X_n$ son diferentes pero yo.yo.d. variables aleatorias.

2. $X(\omega_1), X(\omega_2), ..., X(\omega_n)$ donde $X$ es un (único) de la variable aleatoria.

Creo que el problema es que (1) debe ser escrita como:

"0. $X_1, X_2, \dots X_n$ cuando la $X_i$ son diferentes, pero yo.yo.d variables aleatorias." (Cada una de las $X_i$ es una selección de la distribución de una muestra.)

En el original los esquemas de 1-2, escribir "$X$" y "$\omega$" expresiones tiene la implicación de que juegan diferentes papeles: que $\omega$ son las elecciones al azar realizado en la construcción de las muestras, y el $X$ o $X_i$ son deterministas funciones que describen cómo convertir las elecciones al azar, en particular, de las muestras. Por ejemplo, si las muestras aleatorias son solo de bits aleatorios generados usando dados, $\omega$ o $\omega_i$ puede denotar al azar lanzamientos de dados y $X$ un método de conversión de 1/2/3/4/5/6 resultados en 0/1 bits. A continuación, $\omega_i$ es de por sí una secuencia de yo.yo.d variables aleatorias, y como un resultado, por lo que es $X(\omega_i)$, como en la fórmula (2).

El estándar de descripciones matemáticas son (0), si la información de la muestra, el proceso de generación se suprimen, y (2), si se hacen más explícitas. Sería interesante examinar la literatura sobre esto, pero creo que (1) es mucho menos común, y donde se utiliza puede implicar extraño convenciones tales como la de "profética" $\omega$ que incluye todos los futuros aleatoriedad que se utiliza en la generación de otras variables aleatorias que se combinan con la $X_i$ en los cálculos subsiguientes. Sea como sea, también hay una anotación o conceptual inconsistencia en el esquema (1), donde los resultados del muestreo $X$ son individualizada, en particular,$X_i$, pero la secuencia subyacente de yo.yo.d elecciones al azar se añade en un colectivo de $\omega$. La definición de $\omega$ o nebuloso ("todos los aleatoriedad utilizado para generar las muestras") o, si se hace más explícito el uso de la secuencia de $\omega_i$, $\omega$ sí es superfluo y la situación normalmente se expresa mediante el esquema (2).

La conclusión (o en la mía al menos) es que (1) es defectuoso, pero (2) o (0) sentido.