¿Por qué se justifica el uso de los números reales para hacer geometría?

Question

Contexto: Estoy haciendo un curso de geometría (vemos geometrías afines, proyectivas, inversas, etc,) en el que nuestra estructura básica es un espacio vectorial, normalmente $\mathbb{R}^2$ . Es muy cómodo, y también muy útil, ya que así puedo utilizar la geometría siempre que tenga un espacio vectorial a mano.

Sin embargo, parte de esa estructura es superflua, y me temo que podemos demostrar cosas que no son ciertas en la geometría axiomática más modesta (digamos en la geometría euclidiana axiomática frente a la geometría similar en $\mathbb{R}^3$ ).

Mis preguntas son, pues, en el contexto de la geometría plana en particular:

1. ¿Podemos deducir, a partir de algunas geometrías axiomáticas, una estructura algebraica?

2. ¿Son algunas geometrías axiomáticas equivalentes, de alguna manera, a sus homólogas más algebraicas?

(Nótese que por geometría "más algebraica" me refiero a la geometría en un espacio vectorial. La contrapartida "más algebraica" de la geometría euclidiana axiomática sería la geometría en $R^2$ con las líneas y puntos habituales, y donde podríamos restringir de alguna manera las figuras que podemos construir).

Creo que es útil saber cuándo se cruzan los dos enfoques, primero para poder utilizar las herramientas más potentes del álgebra mientras se hace geometría axiomática, y segundo para aspirar a una mayor generalidad.

Otro uso de este tipo de consideraciones podría ser en la modelización de la geometría en un ordenador (por ejemplo en una aplicación como Geogebra). Aunque los cálculos simbólicos exactos son posibles, una formulación axiomática podría ser de utilidad y tal vez más económica, o de lo contrario podríamos preferir hacer cálculos en lugar de seguir la pista de la formulación axiomática. Uno de los dos enfoques es probablemente mejor para el ordenador, de ahí la necesidad de poder cambiar entre ellos.

Answer 1

Hilbert's Fundamentos de la geometría hizo más o menos lo que usted pide. Partiendo de una extensión de los Axiomas de Euclides, Hilbert demuestra que cualquier modelo de los axiomas es isomorfo a $\mathbb{R}^2$ con la definición habitual de línea.

Más tarde, Tarski dio una axiomatización de primer orden de la geometría plana. Debido a las restricciones incorporadas en el enfoque de primer orden, no se puede obtener el isomorfismo con la geometría natural de $\mathbb{R}^2$ . Pero se puede obtener el isomorfismo a la geometría natural de $F^2$ para un campo cerrado real $F$ .

Answer 2

Repetiré algunas cosas que ya se han dicho, pero tengo mi propio punto de vista.

¿Podemos deducir, a partir de algunas geometrías axiomáticas, una estructura algebraica?

Sí. Como puedes encontrar en el libro de Hartshorne, o en el de Hilbert Fundaciones La idea es un "álgebra de segmentos" para cualquier plano desarguesiano ordenado en el que se construye un anillo de división arquimediano y ordenado $D$ con determinadas operaciones geométricas de manera que los puntos y las líneas en $D\times D$ se coordinan exactamente de la manera que se nos enseña para $\Bbb R \times \Bbb R$ . Por lo tanto, son un punto de partida natural para la geometría ordenada.

Ahora bien, todo anillo de división arquimediano y ordenado se incrusta en $\Bbb R$ . Desde $\Bbb R$ es también un campo ordenado arquimediano, se puede ver que es el máximo campo de este tipo para dicha geometría. De hecho, necesitar los reales para coordinar un plano equivale a una "completitud" muy fuerte de las líneas en esa geometría. Esta propiedad de completitud/maximidad hace que sea muy atractivo estudiar la geometría con ella.

La geometría ordenada está muy bien, pero un nuevo examen de las ideas muestra que los anillos de división en general son exactamente lo que se necesita para coordinar los planos desaguesianos. Imprimen a sus líneas exactamente el comportamiento de traslación y escalado que cabría esperar en una geometría según el programa de Erlangen.

¿Son algunas geometrías axiomáticas equivalentes, de alguna manera, a sus homólogas más algebraicas?

Permítanme continuar brevemente con las líneas anteriores. Ya se ha mencionado el asombroso teorema de que un plano desaguesiano es papiano si el anillo de división es conmutativo. También hay teoremas sobre la equivalencia de ciertos tipos de campos y el criterio de constructibilidad en la geometría.

Los planos proyectivos desarguesianos gozan del mismo teorema de coordinacion con los anillos de division. Los planos hiperbólicos requieren un axioma único más antes de poder ser coordinados por un anillo de división. El anillo de división que se obtiene es un análogo del "álgebra de segmentos" llamado "campo de extremos". Así que, en lo que respecta a estos teoremas, tienes una conexión muy fuerte entre la geometría sintética y la geometría analítica. La geometría con espacios vectoriales sobre anillo de división capta una gran parte, pero no la totalidad de las geometrías sintéticas.

De hecho, existen teoremas de coordinación aún más generales para los planos proyectivos que utilizan "anillos ternarios". A medida que se añaden más propiedades especiales al plano proyectivo, el anillo ternario se acerca más a ser un anillo de división.

Más posts que te pueden gustar:

¿Por qué todas las estructuras que estudio se basan en números reales?

Geometrías (euclidianas y proyectivas)

Teorema principal del plano pitagórico

qué axioma(s) hay detrás del Teorema de Pitágoras

Answer 3

Esta pregunta es un poco amplia, por lo que esto ciertamente no responde todo de ello, pero espero que lo encuentres interesante - un ejemplo de una situación en la que una construcción geométrica es equivalente a una propiedad algebraica.

Dado cualquier anillo de división $R$ (es decir, un conjunto con dos operaciones binarias, $\oplus$ y $\otimes$ , de tal manera que $\oplus$ y $\otimes$ son asociativos y $\oplus$ es conmutativo, tienen identidades $0$ y $1$ respectivamente; cada elemento tiene un $\oplus$ -inverso, y cada elemento que no sea $0$ tiene un $\otimes$ -inverso; y la distributividad se mantiene, es decir, $(a\oplus b)\otimes c=(a\otimes c)\oplus (b\otimes c)$ ), podemos considerar el plano proyectivo en $R$ , $\mathbb{P}^2_R$ (ver por ejemplo Wikipedia: Plano proyectivo para los detalles). Se trata de una especie de abstracción de la proyección habitual ( pas Euclidiana, pero similar) de la geometría.

Resulta que ciertas propiedades algebraicas del anillo de división $R$ son equivalentes a ciertos hechos geométricos sobre el "plano" $\mathbb{P}^2_R$ Véase, por ejemplo Teorema de Pappus . El teorema de Pappus se cumple si y sólo si $R$ es un conmutativo anillo de división ( $a\otimes b=b\otimes a$ ), es decir, un campo .

Hay otros ejemplos de esto - por ejemplo, el teorema de Desargue - y esto podría ser lo que tiene en mente?

---

Uno podría preguntarse: "¡Pero espera! ¿No es que empezar con un anillo de división ya presupone una estructura algebraica?" Bueno, sí, pero resulta que esta estructura algebraica "ya está ahí", en cierto sentido: dado cualquier "plano" $P$ satisfaciendo algunos axiomas básicos de la geometría proyectiva (quizás sorprendentemente, la propiedad crucial es Teorema de Desargue ), podemos realizar $P$ como $\mathbb{P}^2_R$ para algún anillo de división $R$ . La inversa también es válida - $\mathbb{P}_R^2$ satisface estos axiomas para cualquier anillo de división $R$ - por lo que en realidad se trata de una equivalencia entre "teorías base" geométricas y algebraicas. Véase el capítulo 7 de Fundamentos de la geometría proyectiva por Robin Hartshorne para más detalles.

Esto puede dar lugar a aplicaciones cruzadas muy interesantes. Por ejemplo, todo plano proyectivo finito que satisface el Teorema de Desargue también satisface el Teorema de Pappus. ¿Por qué? Por el hecho puramente algebraico de que no hay anillos de división finitos que no sean conmutativos. (Véase El pequeño teorema de Wedderburn . de un mosquito, pero es genial).

Answer 4

Euclides no utilizó ciertamente los números reales. Demostró que la diagonal y el lado de un cuadrado no tienen una "medida común", es decir, que no hay ningún segmento que pueda colocarse de extremo a extremo un número entero de veces para obtener la longitud del lado y también para obtener la longitud de la diagonal, y supo definir lo que significa decir la relación de longitudes de segmento $A$ para segmentar $B$ es igual a la relación de longitudes del segmento $C$ para segmentar $D$ cuando los dos últimos son el lado y la diagonal de un cuadrado.

Y, como ya se ha dicho, Hilbert también desarrolló la geometría euclidiana no sólo sin utilizar los números reales, sino evitando su uso.