Una aplicación $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ y $C^{1}$ tal que $f(x)=0$ para $x>r$ implica que el valor de la integral jacobiana es cero

Question

Dejemos que $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de la clase $C^{1}$ . Supongamos que existe $r>0$ tal que $f(x)=0$ si $|x|\geq r$ .demostrar que existe $k>0$ tal que:

$\displaystyle \int_{B[0,k]}$ det $Jf(x)=0$

Todavía no he visto el teorema de Stokes que creo que está relacionado con esta pregunta y estoy intentando adaptar la prueba del teorema del "cambio de variable" sin mucho éxito, se agradece cualquier pista.

Answer 1

Esta integral tiene una forma similar a la fórmula de cambio de variables, con una diferencia crucial: Aquí no hay valor absoluto del jacobiano. Creo que es poco probable que puedas encontrar una buena prueba intentando cambiar las coordenadas. (Creo que cualquier prueba de este tipo se reduciría esencialmente a utilizar las de Stoke sin decirlo explícitamente).

El Teorema de Stoke afirma simplemente que la integral del determinante jacobiano en la bola es la misma que la integral de $f(x)$ sobre el límite del balón. Si elegimos que k es mayor que r, entonces esta integral es 0 ya que $f(x)$ es cero fuera de la bola de radio r.

El teorema de Stoke es esencialmente una generalización del Teorema Fundamental del Cálculo a dimensiones superiores. y $detJf(x)$ es lo que utilizamos en lugar de la derivada de $f(x)$ .