He encontrado una MUY interesante gráfico en http://www.xamuel.com/graphs-of-implicit-equations/. Se veía muy, muy cool, pero la ecuación de la gráfica es así de simple!!! Aquí está la imagen de la gráfica:
Mi pregunta es: ¿alguien que me explique cómo cada una de las diferentes partes de la ecuación afecta a la gráfica? ¿Cómo funciona el $\sin(x^2+y^2)$ afectan a esta gráfica? Cómo ayuda a crear un aspecto atractivo patrón?
Aquí algunas observaciones para tratar de explicar lo que está pasando.
Primero de todo, ¿por qué parece ser concéntrico de la repetición de la imagen de la expansión hacia el exterior? Esto es causado por la periodicidad de seno y coseno. Cada par de cruce de óvalos sucede periódicamente, pero no en un período constante. Puesto que la entrada es cuadrática en las variables, el período que se está reduciendo a medida que nos movemos hacia el exterior, haciendo que la repetición más frecuente. Empiezo esta tarde mirando radial rodajas y las ecuaciones de los óvalos.
En segundo lugar, ¿por qué hay parejas de intersección de formas ovaladas? Como uno rápidamente se adivina, el gráfico tiene 90 grado de simetría de rotación. La transformación de $(x,y)\to(y,-x)$ lleva soluciones de la ecuación a otras soluciones. Obviamente $x^2+y^2=y^2+(-x)^2$, e $\cos(xy)=\cos(y(-x))$ desde el coseno es una función par.
Uno puede tratar de obtener un control sobre las soluciones más cercano al origen y la posterior repetición considerando radial de los fragmentos del avión. Los dos primeros a investigar sería el con $x=0$ (Que cubre la y=0 caso, después de simetría.) usted sería la solución de la ecuación de $\sin(y^2)=1$, lo que sucede cada vez que $y^2$ aciertos $\pi/2 + n2\pi$.
Las soluciones en la línea de $x=y$, por ejemplo, tendría que satisfacer $\sin(2x^2)=\cos(x^2)$. En realidad, es un trabajo fuera de lo que la ecuación debe ser por $y=kx$ para cualquier constante k.
Agregado para la integridad:
Son en realidad ellipeses? Sí! Achille Hui siempre una derivación de por qué los óvalos son realmente elipses en los comentarios del post original. Estoy haciendo eco de parte de ella aquí para hacer un poco más visible y duradero.
El uso de estas ecuaciones:
$$\begin{align} \sin(A) = \cos(B) \iff & B = \pm ( \frac{\pi}{2} - A ) + 2m\pi \quad\text{ for some }\; m \in \mathbb{Z}\\ \iff & A \pm B = (2n+\frac{1}{2})\pi\quad\text{ for some }\; n \in \mathbb{Z} \end{align}$$
la sustitución da la forma de los puntos suspensivos:
$$x^2+y^2 \pm xy = (2n + \frac12)\pi$$
El trabajo de mi propia expansión en esto:
Si tuviéramos una familia de ecuaciones de círculos concéntricos $x^2+y^2=an+b$ para las constantes $a,b$ natural y número de $n$, entonces tenemos que reconocer que el cuadrado de la radio varía con $n$, por lo que la radio debe variar como $\sqrt{n}$, y esperaríamos que las radios a ser "desaceleración", ya que los valores de $\sqrt{n}$ llegar más cerca juntos como $n$ aumenta.
Rotación de esta familia de ecuaciones por $\pi/4$, podemos eliminar la $xy$ plazo y pensar acerca de los puntos suspensivos como los básicos que hacemos en el cálculo. Aquí está la versión rotada mediante $+$ $\pm$ parte de la ecuación anterior:
$$ \frac{3x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=2\pi n +\frac{\pi}{2}\\ 3x^2+y^2=4\pi n +\pi\\ \frac{x^2}{(\frac{4\pi n+\pi}{3})}+\frac{y^2}{4\pi n+\pi}=1 $$
Así que aquí podemos ver que los principales y secundarias de los ejes principales varían de forma similar a $\sqrt{n}$, y, además, que el principal eje principal es $\sqrt{3}$ veces mayor que la del eje menor. Si hacer el mismo truco con el"$-$"$\pm$, se obtiene el resto de la familia de elipses girado $\pi/2$ a partir de estas elipses.
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