En tipo de funciones lineales

Question

De fondo

Una función de $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \ $ es lineal si satisface $$(1)\;\; f(x+y) = f(x) + f(y) \ , \ and$$ $$(2)\;\; f(\alpha x) = \alpha f(x)$$ para todos los $x,y \in \mathbb{R}^n$ y todos los $\alpha \in \mathbb{R}$.

Una función de satisfacer solamente (2) no es necesariamente lineal. Por ejemplo,* $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \ $ definido por $f(x) = |x| \ $ (donde $|x| \ $ $L^2$ norma) satisface (2), pero no es lineal. Sin embargo, una función satisfactoria (1) no satisfacer a una versión más débil de (2), a saber: $$(2b)\;\; f(ax)=af(x)$$ for all $un \in \mathbb{Q}$.

*Edit: Como se señaló en los comentarios de este ejemplo no funciona desde |ax|=|a||x|.

Al $f$ es continua es relativamente sencillo demostrar que bajo el extra hipótesis de que la $f$ es continuo, (2b) implica (2). Yo quiero decir que la continuidad es una necesaria condición para que (1) implica (2), o al menos (en el peor) hay algunos extra hipótesis necesaria (posiblemente más débil que la continuidad), pero no estoy seguro de cómo mostrarlo.

Mi pregunta es por lo tanto doble:

-Es la continuidad de una condición necesaria para que (1) implica (2) y cómo se podría ir sobre la prueba. - ¿Cuáles son algunos ejemplos (si hay alguna) de una función satisfactoria (1), pero no (2)

Esto puede ser expresado en un poco más de contexto general de la siguiente manera: Supongamos $V\ $ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}\ $ $f: V \rightarrow \mathbb{R}\ $ satisface $$(1') \;\; f(x+y) = f(x)+f(y)$$ for all $x,y \in V$.

Bajo qué condiciones es $f\ $ un espacio vectorial homomorphism?

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La razón creo que la continuidad es necesaria debido a la similitud con el hecho de que $x^{\alpha} x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}$ todos los $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$. Irracional de los poderes puede ser definido a través de la continuidad (es decir, si $\alpha \ $ es irracional, entonces $x^{\alpha}:= \lim_{q\rightarrow \alpha} x^q \ $ donde q toma sólo racional de valores) o mediante el uso de la exponencial y natual funciones de registro, y de cualquier forma, demostrando el deseo de identidad se reduce a la continuidad.

He venido para arriba con un ejemplo que satisface (algo similar a) (1) y no (2), pero no acaba de encajar el proyecto de ley:
$\ $ Definir $\phi : \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q} \ $ definido por $\phi(a+b\sqrt{2}) = a+b$. A continuación, $\phi(x+y) = \phi(x)+\phi(y) \ $ pero si $\alpha=c+d\sqrt{2} \ $$\phi(\alpha(a+b\sqrt{2})) = ac+2bd + ad+bc \neq \alpha \ \phi(a+b\sqrt{2})$. $\ $ El problema es que a pesar de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \ $ es un espacio vectorial sobre$\mathbb{Q}$, $\alpha \ $ es procedente de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \ $, en lugar del campo base $\mathbb{Q}$.

Answer 1

No es cierto que $|ax|=a|x|$; la identidad correcta es $|ax|=|a||x|$.

Si o no añadir la hipótesis de la continuidad es necesaria para el aditivo de las funciones lineales depende del axioma de elección. El uso de una base de Hamel $B$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{Q}$ junto con uno de sus contables subconjuntos $A=\{x_1,x_2,\ldots\}$, usted puede construir una discontinuo $\mathbb{Q}$ lineal mapa de $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}$tomando las únicas $\mathbb{Q}$ extensión lineal de la función de $f:B\to\mathbb{R}$ tal que $f(x_k)=k|x_k|$$f(B\setminus A)=\{0\}$. Desde $\mathbb{R}$ lineal mapas entre finito dimensional real de los espacios vectoriales son continuos, un mapa no puede ser lineal. Sin embargo, es coherente con el ZF de que todos los aditivos de las funciones de la $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}$son continuas (sin embargo no estoy bien informado en el conjunto teórico antecedentes necesarios para demostrar esto).

Answer 2

Sí, la continuidad es necesaria. En una variable los contraejemplos son conocidos como patológico soluciones de Cauchy funcional de la ecuación. Se requiere el axioma de elección para la construcción de: teniendo en cuenta el axioma de elección, podemos elegir una base para $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, y cualquier función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que solo es necesario ser $\mathbb{Q}$-lineal puede ser especificado por arbitrariamente la especificación de su comportamiento en base a esto.

Patológico soluciones son muy extraños (por ejemplo, su gráfica es denso en el plano) y puede ser descartado por casi cualquier "nice" hipótesis", como se describe en el artículo de wiki.