La transformación de un conjunto de ecuaciones a partir de un conjunto de variables que a otro?

Question

Suponga $\theta_1,\dots,\theta_n$ $n$ números positivos tales que $$\theta_1+\dots+\theta_n=1$$ Define $y_{ij}=\frac{\theta_i}{\theta_j}$ for all $i,j \in \{1,\dots,n\}$. Is there a way to transform the above equation in terms of $y_{ij}$.

Answer 1

No. Si se multiplican todos los $\theta_i$ por el mismo número positivo $c\neq 1$, entonces todos los $y_{ij}$ siendo los mismos, pero $\theta_1+\dots+\theta_n$ cambios.

Más detalles: suponga que usted tiene una condición o conjunto de condiciones en $y_{ij}=\frac{\theta_i}{\theta_j}$, con lo cual se satisface si y sólo si $\theta_1+\dots+\theta_n=1$. Deje $\overline{\theta}_i$ ser números positivos tales que $\overline{\theta}_1+\dots+\overline{\theta}_n=1$. Luego, por supuesto, los números de $\overline{y}_{ij}=\frac{\overline{\theta}_i}{\overline{\theta}_j}$ satisfacer esa condición(s). Ahora elija un número positivo $c\neq 1$ y establezca $\theta'_i = c\overline{\theta}_i$. A continuación,$y'_{ij} = \frac{\theta'_i}{\theta'_j} = \overline{y}_{ij}$, por lo que los números $y'_{ij}$ satisface la condición(s) así, sino $\theta'_1+\dots+\theta'_n = c(\overline{\theta}_1+\dots+\overline{\theta}_n) = c\neq 1$.

Answer 2

Sí. El uso de $\theta_i = \theta_j y_{ij}$ escribir $\theta_1+\theta_2\dots+\theta_n=1$ $\theta_j y_{1j}+\theta_j y_{2j}+\dots+ \theta_j y_{nj}= 1$

Recoger $\theta_j$ s.t. $\theta_j(y_{1j}+y_{2j}+\dots+y_{nj})= 1$ $\theta_j = \displaystyle \frac{1}{y_{1j}+y_{2j}+\dots+y_{nj}}=\frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_{kj}}$

$\theta_1+\theta_2\dots+\theta_n=1 = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_{k1}} + \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_{k2}} + \dots+\frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_{kn}} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_{kj}}$

---

Edit 2

Más simplemente:

Dado $$\theta_1 + \theta_2 + \dots+ \theta_‌​n= 1$$ $$\theta_j > 0$$ $$y_{ij} = \frac{\theta_i}{\theta_j}$$ entonces $$ \theta_j = \displaystyle \frac{\theta_j}{\theta_1 + \theta_2 + \dots+ \theta_‌​n} = \displaystyle \frac{1}{\frac{\theta_1}{\theta_j}+\frac{\theta_2}{\theta_j}+\dots+\frac{\theta_‌​‌​n}{\theta_j}} = \displaystyle \frac{1}{y_{1j}+y_{2j}+\dots+y_{nj}}$$ O $$ y_{1j}+y_{2j}+\dots+y_{nj} = \displaystyle \frac{1}{\theta_j}$$ Para cada una de las $\theta_j$ se reduce a un $y_{kj}$ expresión.

Por lo que cualquier expresión escrita en $\theta_j$ variables puede ser transformado en una expresión en $y_{kj}$ variables.