¿Cardioide en la taza de café?

Question

He estado aprendiendo sobre las curvas polares en mi clase de Cálculo y el otro día vi esto sospechosamente $r=1- \cos \theta $ en mi taza de café (bueno, en realidad $r=1- \sin \theta $ si estamos siendo pedantes.) Algunas investigaciones revelaron que se llama cáustico. Empecé a averiguar por qué sería así, pero tuve un inconveniente. Esto es lo que hice hasta ahora:

Considere las curvas polares $r=1- \cos \theta $ y $r=1$ . Ya que para que un rayo de luz se refleje en una superficie (o en el interior de mi taza) el $ \angle $ de incidencia = $ \angle $ de reflexión, un punto en el círculo $(1, \theta ) \to (1,2 \theta )$ . Parece que esto tiene algo que ver con las líneas tangentes, así que finjo que hay una $xy$ plano centrado en el polo para encontrar la pendiente de la línea que conecta los puntos. Como es el círculo de la unidad, las coordenadas rectangulares correspondientes son $( \cos \theta , \sin \theta )$ y $( \cos 2 \theta , \sin 2 \theta ).$ Así que $$m={ \sin 2 \theta - \sin \theta \over \cos 2 \theta - \cos \theta }$$ ahora vemos si coincide con la pendiente de las líneas tangentes al cardioide $$ \frac {dy}{dx}={r' \sin \theta +r \cos \theta \over r' \cos \theta - r \sin \theta }={ \sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta + \cos \theta \over 2 \sin \theta \cos \theta - \sin\theta }={ \cos \theta - \cos 2 \theta\over \sin 2 \theta - \sin \theta }$$

Son similares, pero no idénticos. En particular $ \frac {dy}{dx}=- \frac1m $ . ¿Qué error he cometido, o qué he pasado por alto conceptualmente? Gracias de antemano.

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Answer 1

El rayo, al cruzar el cardiode, debe ser ortogonal al plano de incidencia. Resulta que la derivada de la ecuación del cardiode, tal y como se indica en tu pregunta, da la pendiente del plano de incidencia en ese ángulo concreto y $m \times \frac{dy}{dx} = -1$ ¡según se requiera!

¿Pero la derivada de la ecuación del cardiode no debería dar la pendiente de la recta tangente? Pues lo hace... para ver esta supuesta discrepancia, tenemos que evaluar cuidadosamente el modelo que estamos utilizando.

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Fijemos nuestra fuente de luz puntual a la derecha del círculo, como en el diagrama siguiente en $P$ . Físicamente, $P$ es el lugar donde se enfoca el rayo entrante, exterior al anillo. Cambiar la ubicación de la fuente puntual alteraría el cardiode y produciría otra envoltura. Mantener la fuente puntual en la circunferencia mantendría la envolvente de los rayos en forma de cardiode; en respuesta a tu comentario, creo que eso es lo que se quiere decir con "la catacaustica de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es un cardioide".

( Fuente de la imagen).

Su primera ecuación

$$m(\phi)={\sin 2\phi-\sin \phi \over \cos 2\phi-\cos \phi}$$

es la pendiente de la trayectoria del rayo reflejado. El ángulo $\phi$ se mide desde un sistema de coordenadas en el centro del círculo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el positivo $x$ -eje. Esto es conveniente, ya que la ley de reflexión dará efectivamente $(r,\phi)\to(r,2\phi)$ .

Ahora hagamos coincidir el cardiode en el diagrama. Es algo así como $$r = a(\cos \theta -1)$$ Esta curva es un poco diferente a la suya, debido a cómo estamos definiendo $\theta$ . De todos modos, no sabemos $a$ . No es una longitud unitaria si nuestro círculo es un círculo unitario. Vea aquí. Compruebe los gráficos vinculados y probablemente notará que el círculo no está bien colocado. Esto se debe a que $\theta$ no se mide desde el centro del círculo, sino desde la cúspide del cardiode. Estamos utilizando dos sistemas de coordenadas. En cualquier caso, podemos comparar las pendientes en los dos sistemas, ya que son traducciones. Seguimos teniendo

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx}(\theta) = \frac{dy/ d\theta}{dx/ d\theta} & = \frac{r' \sin \theta + r \cos \theta}{r' \cos \theta - r \sin \theta} \\ \\ & = \frac{-a\sin^2 \theta +a\cos^2 \theta- a\cos \theta}{-a\sin\theta \cos \theta - a\cos\theta \sin \theta + \sin \theta} \\ \\ & = -\frac{\cos 2\theta- \cos \theta}{\sin 2\theta - \sin \theta} \\ \\ & = -\frac{1}{m(\theta)} \end{align*} $$

Como referencia, he marcado un rayo de muestra en amarillo. Se refleja en $\phi = \frac{\pi}{2}$ y la parte reflejada tiene pendiente $m(\frac{\pi}{2}) = 1$ . Ahora, sin probarlo, sí parece que en $\theta = \phi$ El rayo reflejado y la tangente tienen pendientes paralelas. Muy bien. ¿Pero por qué las fórmulas no dan este resultado? ¿Por qué $\frac{dy}{dx}(\frac{\pi}{2}) = -1$ ¿para nuestro rayo? Este es el recíproco negativo.

Recordemos que el cardiode tiene la fórmula $r = a(\cos \theta -1)$ . Examinemos cómo se mapea uno de estos puntos. En $\theta = \frac{\pi}{2}$ tenemos $r = -a$ . ¡Este punto está en el lado opuesto del cardiode! La pendiente de esta tangente dada por la derivada es en realidad la de la línea rosa de abajo.

Curiosamente, la tangente rosa en el lado opuesto del cardiode parece ser perpendicular al propio rayo reflejado. Es decir, es paralela al plano de incidencia.

Gracias por la pregunta, que es genial.

Answer 2

La luz del infinito

Lo más probable es que la luz provenga de una distancia que es grande en la escala de la copa. Por lo tanto, consideraremos que los rayos entrantes son paralelos. Si es así, la cáustico en la taza de café es un nephroid .

Considere el siguiente diagrama

El rayo reflejado en el punto $(-\cos(\theta),\sin(\theta))$ es $$ \frac{y-\sin(\theta)}{x+\cos(\theta)}=-\tan(2\theta)\tag{1} $$ que es $$ x\sin(2\theta)+y\cos(2\theta)=-\sin(\theta)\tag{2} $$ Aquí hay un gráfico de los rayos reflejados de $(2)$ generada por rayos entrantes paralelos distribuidos uniformemente

Tomando la derivada de $(2)$ con respecto a $\theta$ : $$ 2x\cos(2\theta)-2y\sin(2\theta)=-\cos(\theta)\tag{3} $$ Resolver $(2)$ y $(3)$ da simultáneamente el sobre de la familia de líneas en $(1)$ : $$ \begin{align} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos(2\theta)&-\sin(2\theta)\\ \sin(2\theta)&\cos(2\theta) \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -\frac12\cos(\theta)\\ -\sin(\theta) \end{bmatrix}\\[6pt] &=\frac14\begin{bmatrix} \cos(3\theta)-3\cos(\theta)\\ 3\sin(\theta)-\sin(3\theta) \end{bmatrix}\tag{4} \end{align} $$ La curva de $(4)$ se añade en rojo

Ecuación $(4)$ describe un nephroid .

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Luz desde un punto del círculo

Como se menciona en un comentario que un cardoide se forma con la luz que viene de un punto del borde de la copa, haremos el mismo cálculo con la luz de un punto del círculo.

Considere el siguiente diagrama

El rayo reflejado en el punto $(-\cos(\theta),\sin(\theta))$ es $$ \frac{y-\sin(\theta)}{x+\cos(\theta)}=-\tan\left(\frac{3\theta}2\right)\tag{5} $$ que es $$ y(1+\cos(3\theta))+x\sin(3\theta)=\sin(\theta)-\sin(2\theta)\tag{6} $$ Aquí hay un gráfico de los rayos reflejados de $(6)$ reflejados en puntos uniformemente espaciados en el círculo

Tomando la derivada de $(6)$ con respecto a $\theta$ : $$ -3y(\sin(3\theta))+3x\cos(3\theta)=\cos(\theta)-2\cos(2\theta)\tag{7} $$ Resolver $(6)$ y $(7)$ da simultáneamente la envoltura de la familia de líneas en $(5)$ : $$ \begin{align} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos(3\theta)&-\sin(3\theta)\\ \sin(3\theta)&1+\cos(3\theta) \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \frac13\cos(\theta)-\frac23\cos(2\theta)\\ \sin(\theta)-\sin(2\theta) \end{bmatrix}\\[6pt] &=\frac13\begin{bmatrix} \cos(2\theta)-2\cos(\theta)\\ 2\sin(\theta)-\sin(2\theta) \end{bmatrix}\tag{8} \end{align} $$ La curva de $(8)$ se añade en rojo

Ecuación $(8)$ describe un cardoide .

Answer 3

Como os prometí en los comentarios, aquí tres valores distintos para $a$ y $b$ en la ecuación $r = a +b \cos \theta$ . Se pueden ver diferentes curvas sin embargo la ecuación es similar.