Elipse mínima que circunscribe un triángulo rectángulo

Question

Encuentre el ecuación de la elipse que circunscribe un triángulo rectángulo cuyas longitudes de sus lados son $3,4,5$ y tal que su área sea la mínima posible.

Puede elegir el origen y la orientación del $x,y$ ejes como quieras.

Motivación: Puede ser probado [ Problema de la Semana, Problema nº 8 (Serie Otoño 2008), Departamento de Matemáticas, Universidad de Purdue que el área de esta elipse es $8\pi /\sqrt{3}$ , sin necesidad de utilizar su ecuación, pero también me interesa encontrarla.

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Edición: imagen de este respuesta.

Answer 1

Si miras la prueba que enlazaste, la prueba es usando una transformación Affine.

Ahora también puedes ver que los centroides de los triángulos se mapean entre sí en la transformación afín, y también los centros de las elipses.

Así, the ellipse you need has the same center as your triangle! Esta propiedad define de forma única la elipse con el área máxima.

Ahora considere los puntos $A = (-1,-4/3), B = (2, -4/3)$ y $C= (-1, 8/3)$ . Se trata de un triángulo 3-4-5 cuyo centro es el origen, que se ha obtenido partiendo de $(0,0), (3,0)$ y $(0,4)$ y trasladando para que el centroide sea el origen.

Ahora la ecuación de una elipse cuyo centro es el origen viene dada por

$Px^2 + Qxy + Ry^2 = 1$ .

Por lo tanto, debemos tener que

(1) $P + 4Q/3 + 16R/9 = 1$
(2) $4P - 8Q/3 + 16R/9 = 1$
(3) $P -8Q/3 + 64R/9 = 1$

Resolviendo esto (ver nota a pie de página) obtenemos la ecuación de la elipse como

$x^{2}/3 + xy/4 + 3y^{2}/16 = 1$

Para comprobarlo, el área de $Px^2 + Qxy + Ry^2 = 1$ viene dada por $\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt{4PR - Q^2}}$ lo que se traduce en $\displaystyle \frac{8\pi}{\sqrt 3}$

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Si lo desea, puede ignorar lo siguiente. Esto es sólo resolver manualmente las ecuaciones

(1) $P + 4Q/3 + 16R/9 = 1$
(2) $4P - 8Q/3 + 16R/9 = 1$
(3) $P -8Q/3 + 64R/9 = 1$

Restando (1) y (2) se obtiene $3P = 4Q$ .

Restando (2) y (3) se obtiene $3P = 48R/9$

Así, $Q = 3P/4$ y $R = 9P/16$

Por lo tanto, utilizando (3) tenemos que

$P - (8/3)*(3P/4) + 64/9 * (9P/16) = 1$

es decir $P - 2P + 4P = 1$ es decir $P = 1/3$ .

Answer 2

Dada la prueba a la que has enlazado, como dijo Rahul Narain en un comentario, hay una transformación afín que mapea el círculo unitario y un triángulo equilátero inscrito a la elipse deseada para un triángulo rectángulo 3-4-5 particular. Representar esta transformación afín por $$\begin{pmatrix}x'\\\\y'\\\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & b_1\\\\a_{2,1} & a_{2,2} & b_2\\\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\\y\\\\1\end{pmatrix}.$$ Que el triángulo rectángulo 3-4-5 tenga los vértices (0,0), (0,3) y (4,0), y que el triángulo equilátero tenga los vértices (1,0), $(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ y $(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ . Al mapear estos vértices en el orden indicado y resolver los parámetros de la transformación se obtiene la matriz $$\begin{pmatrix}-\frac{4}{3} & -\frac{4}{\sqrt{3}} & \frac{4}{3}\\\\-1 & \sqrt{3} & 1\\\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

El círculo unitario tiene representación paramétrica $x=\cos t$ , $y=\sin t$ . Aplicando la transformación afín a este círculo unitario se obtiene la representación paramétrica $x=\frac{4}{3}(1-\cos t-\sqrt{3}\sin t)$ , $y=1-\cos t+\sqrt{3}\sin t$ para la elipse deseada.

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editar : Mirando La respuesta de Moron En cuanto a la ecuación de la elipse, su elección de coordenadas x e y están intercambiadas con respecto a la mía, y como él dijo, su triángulo rectángulo está trasladado para tener su centroide en el origen, pero teniendo en cuenta estas diferencias, mis ecuaciones paramétricas satisfacen su ecuación. Es decir, basándose en su ecuación, una ecuación en x e y solo para la elipse con ecuaciones paramétricas como las que he especificado es $9x^2+12xy+16y^2-36x-48y=0$ .

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editar 2 : No conozco demasiado la mecánica detallada de las diferentes representaciones de las transformaciones afines. La forma que he utilizado arriba es equivalente a $$\begin{pmatrix}x'\\\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2}\\\\a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\\\b_2\end{pmatrix}$$ y los 1s y 0s de la tercera fila en la versión anterior son sólo el pegamento que permite representar una transformación afín con una sola multiplicación matricial. Mi solución podría haber utilizado fácilmente esta representación de la transformación afín.

Answer 3

No hay mucho que aportar en este momento, salvo esta imagen mejorada:

(líneas discontinuas: ejes; líneas grises: medianas)

y el Mathematica cuaderno utilizado para producirlo.

(Gracias Isaac !)