Deje $(X,\mathfrak B,\mu)$ ser un espacio de probabilidad, y supongamos que $\lim_n \mu(A_n) = m$ para algunos secuencia de conjuntos medibles $\{A_n\}_{n\geq 0}\subseteq \mathfrak B$. Es cierto que existe una monótona secuencia $\{B_n\}_{n\geq 0}\subseteq \mathfrak B$ que satisface $\lim_n \mu(B_n) = m$?
La secuencia de $\{B_n\}_{n\geq 0}$ es monótona si $B_n\subseteq B_{n+1}\; \forall n$ o $B_n\supseteq B_{n+1}\; \forall n$.
La motivación es tomado de esta cuestión: la existencia de $\{B_n\}_{n\geq 0}$ implica que el $\mu(\lim_n B_n) = m$, y por lo tanto la imagen de $\mu$ es cerrado en $\Bbb R$.
Utilizando el hecho de que cualquier secuencia de reales contiene una monótona y larga (no creciente, o no decreciente, o ambos), podemos asumir que $\{\mu(A_n)\}_{n\geq 0}$ es monótona secuencia. Para tal caso, traté de elegir a $B_n$ $\limsup/\liminf$- como construcciones, pero no obtuvo ningún resultado en particular.
