¿Qué propiedades hereda el producto cartesiano de dos conjuntos dotados de una operación binaria?

Question

Dejemos que $G$ y $H$ denotan conjuntos dotados de una operación binaria (aka magmas). Podemos formar el producto cartesiano magma $G \times H$ de manera obvia. Me interesa saber qué propiedades de $G$ y $H$ transferir a $G \times H$ . Por ejemplo, si ambos $G$ y $H$ son asociativos, entonces $G \times H$ es asociativo. Lo mismo ocurre con la conmutatividad.

¿Existe un principio general que dicte qué propiedades $G \times H$ ¿heredará?

¿Y al revés? ¿Para qué propiedades se sostiene que si $G \times H$ tiene esa propiedad, entonces uno o ambos $G, H$ ¿debe tenerlo?

Answer 1

Por el Teorema de Birkhof toda variedad de álgebras (universales) es cerrada respectivamente producto directo. Por lo tanto, si una identidad es verdadera para $A$ y $B$ es cierto para $A\times B$ .

Answer 2

Estoy bastante seguro de que no existe ninguna regla general conocida actualmente que dicte exactamente qué propiedades $G\times H$ heredará de $G$ y $H$ ni que dicte qué propiedades $G$ y $H$ heredar de $G\times H$ . Si lo hubiera, no habría visto tantos resultados sobre casos especiales en publicaciones recientes (no demostrados por referencia a algún principio general).

Estos son algunos ejemplos de propiedades no (necesariamente) heredada por $G\times H$ :

• Freeness
• Generación finita: Se hereda en los magmas con identidad, pero no siempre en otros casos. Si $S$ y $T$ son semigrupos f.g., entonces $S\times T$ es f.g. si al menos uno de $S$ y $T$ es finito o $S^2=S$ y $T^2=T$ . (Este resultado se debe a Ruskuc, Robertson y Wiegold).
• Tener un problema de palabras en una clase de complejidad específica. Por ejemplo, el grupo cíclico infinito $\mathbb{Z}$ tiene un problema de palabras libres de contexto, pero $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ no lo hace. Del mismo modo, el semigrupo $\mathbb{N}$ de números naturales bajo adición tiene problema de palabra racional, pero $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ no lo hace.

Voy a publicar esto por ahora, pero puede que vuelva y añada algo más tarde, ya que no he abordado de ninguna manera todo lo que plantea su pregunta.

Answer 3

Algunos puntos que conozco:

• Si $G$ y $H$ son semigrupos, también lo es $G\times H$ desde:

$$[(a,b)(c,d)](h,f)=(ac,bd)(h,f)=[(ac)h,(bd)f]=[a(ch),b(df)]=...(a,b)[(c,d),(h,f)]$$

• Un elemento $(a,b)\in G\times H$ es idempotente si $a$ es un idempotente en $G$ y $b$ es un idempotente en $H$ .

• Un elemento $(a,b)\in G\times H$ es un elemento de identidad izquierdo (o derecho) de $G\times H$ si $a$ es un elemento de identidad izquierdo (o derecho) de $G$ y $b$ es un elemento de identidad izquierdo (o derecho) de $H$