¿Existe una forma de calcular potencias extremadamente altas?

Question

¿Podría ser posible calcular, digamos, $2^{250000}$, lo cual obviamente tendría que escribirse en notación estándar? Parece imposible hacerlo sin ejecutar un programa en una supercomputadora para resolverlo.

Answer 1

La idea básica es la siguiente: Si $k \in \mathbf N$ es par, digamos $k = 2m$, entonces tenemos $$ 2^k = 2^m \cdot 2^m $$ si $k = 2m + 1$ es impar, entonces $$ 2^k = 2^{2m} \cdot 2 $$ Es decir, necesitamos dos rutinas, una para elevar al cuadrado un número y otra para duplicar un número (en notación estándar). Esto se puede hacer en casi todas las computadoras. Ahora comenzamos con 2, realizando los pasos \begin{align*} 2 &\leadsto 2^2 \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^3 \text{ duplicar}\\ &\leadsto 2^6 \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^7 \text{ duplicar}\\ &\leadsto 2^{14} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{15} \text{ duplicar}\\ &\leadsto 2^{30} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{60} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{61} \text{ duplicar}\\ &\leadsto 2^{122} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{244} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{488} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{976} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{1952} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{1953} \text{ duplicar}\\ &\leadsto 2^{3906} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{7812} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{15624} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{15625} \text{ duplicar}\\ &\leadsto 2^{31250} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{62500} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{125000} \text{ cuadruplicar}\\ &\leadsto 2^{250000} \text{ cuadruplicar}\\ \end{align*} Es decir, esto se puede hacer en "no tantas" multiplicaciones.

Answer 2

Cuando era joven (no hace tantos años), no había computadoras en casa y me enseñaron a hacer ese tipo de cálculos utilizando la ''tabla de logaritmos'', un pequeño libro en el que era posible encontrar los logaritmos (en base $10$) de los números.

¡Así era como se hacían los cálculos antes de las computadoras! ¡Y aún funciona hoy en día!

Entonces, para tu cálculo podemos hacer lo siguiente:

$$ \log_{10}\left(2^{250000}\right)=250000 \times \log_{10} 2 $$

De mis tablas encontré que $\log_{10} 2=0.3010299$ (claramente, el problema es la precisión que está limitada por el número de dígitos en las tablas, pero para este propósito $7$ dígitos parecen ser suficientes).

Entonces, con una simple multiplicación tenemos:

$$ 2^{250000} \approx 10^{75257.475}=\left(10^{10000}\right)^{7.5257475} $$ O, como sugiere @mathmandan (¡gracias!): $$ 2^{250000} \approx 10^{75257.475}=10^{75257}\times 10^{0.475} $$ y mis ''tablas mágicas'' dicen que $10^{0.475}\approx 2.9853826$.

Answer 3

Se pueden obtener aproximaciones bastante buenas, pero el cálculo real es difícil. Por ejemplo $$2^{250000} = (2^{10})^{25000} = (1024)^{25000} \approx (10^3)^{25000} \approx 10^{75000}$$ Lo cual puedes escribir bastante fácilmente. Esta es una estimación bastante decente (Wolfram da $10^{75257.49891599528}$) También podrías escribir el número en binario si eso te conviene, que es un $1$ seguido de $250000$ $0$'s.

Answer 4

En cuanto a números grandes, 2^250000 es en realidad pequeño. Un programa simple en Ruby lo calcula en unos pocos décimas de segundo:

puts 2**250000

Ejecútalo con ruby -e en una línea de comandos, si tienes Ruby. Tarda más tiempo en mostrar el resultado que en calcularlo.

Para números realmente grandes, por favor visita

• Grandes números (Wikipedia)
• Googología Wiki
• Sitio de Números Grandes de Sbiis Saibian

Answer 5

Sí. Logaritmo y multiplicación. Utilice la ley del logaritmo $$\log(a^b) = b\log(a)$$ y su exponenciación será $$\exp(b\log(a))$$