La secuencia de los números Ordinales y Ordinal Definability en Levy Colapso de las Extensiones

Question

Deje $\kappa$ ser un cardinal inaccesible. Deje $G$ ser genéricos ( $Col(\omega, < \kappa)$ , la tasa de Colapso.

Si $f\in \text{ }^\omega \text{Ord}^{V[G]}$$f \in OD_{\text{ }^\omega\omega}^{V[G]}$?

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Posiblemente el hecho útil es que si $f\in \text{ }^\omega \text{Ord}^{V[G]}$, entonces existe un $\lambda < \kappa$ tal que $f \in V[G | \lambda]$. Sin embargo, no sé cómo usar este, si es relevante en absoluto.

Estoy interesado en esto ya que algunas personas definen el Solovay modelo como $\text{HOD}^{V[G]}_{\text{ }^\omega \text{ORD}}$ y a otras personas el uso de $\text{HOD}_{\text{ }^\omega\omega}^{V[G]}$. Creo que si la pregunta tiene una respuesta positiva, entonces los dos son el mismo.

Gracias por la ayuda.

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$x \in \text{OD}_A$ si $x$ es definible con los parámetros en $OD \cup A$. $x \in \text{HOD}_A$ si $tc(\{x\}) \subset OD_A$ donde $tc$ es el cierre transitivo.

Answer 1

La respuesta es negativa, y los dos modelos no son necesariamente los mismos. El problema básico es que uno podría tener un $\omega$-secuencia de los números ordinales muy alto, por encima de $\kappa$, y si esta secuencia no está suficientemente definida en $V$, entonces no va a ser en $\text{HOD}^{V[G]}_{{}^\omega\omega}$, pero por supuesto es en $\text{HOD}^{V[G]}_{{}^\omega\text{Ord}}$.

Por ejemplo, comenzar con un modelo donde existe un cardinal medible $\delta$ sobre $\kappa$$V_0$, y deje $V=V_0[s]$ obtenerse por Prikry obligando a $\delta$ agregar un nuevo cofinal $\omega$-secuencia $s$$\delta$. El hecho de forzar a $V[G]$ va a ser pequeña en relación a $\delta$, y podemos ver $V[G]$$V_0[G][s]$, y podemos, en efecto, el intercambio de la orden de forzar, porque la antigua medida genera una nueva medida, y por lo $s$ $V_0[G]$- genérica. Uno puede mostrar que después de Prikry forzar, la secuencia genérica no es definible a partir de reales y ordinal parámetros, y por lo $s$ no $\text{HOD}^{V[G]}_{{}^\omega\omega}$. Pero es un $\omega$-secuencia de los números ordinales, y por lo que muestra los dos modelos son diferentes en este caso.