Es posible que para un entero raíces cuadradas para agregar a otro?

Question

Al principio me preguntaba si es posible que haya tres $x,y,z \in \mathbb{Q}$ y $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z} \noen \mathbb{Q}$ tal que $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{z}$. Yo tenía la sospecha de que no, pero luego me enteré de $x = \dfrac{1}{2}, y = \dfrac{1}{2}$ y por tanto $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2}$.

Sospecho que no hay ningún número entero soluciones donde los números no son todos los de la plaza, pero no podía demostrarlo. No obstante, pensé que me gustaría preguntar si es posible cuando $x, y, z \in \mathbb{N}$ y $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z} \noen \mathbb{N}$ que $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{z}$? Y si no, alguien puede probarlo?

Answer 1

Si usted cuadrado ambos lados, usted tiene $x + y + 2\sqrt{xy} = z$, que puede ser satisfecha si y sólo si $\sqrt{xy}$ es un número entero (no puede ser la mitad de un entero). Así que esa es la condición, si $xy$ es un cuadrado entonces está bien, de lo contrario, su irresoluble.

Answer 2

Algunos ejemplos para cada variable $x$ y $y$ hasta 100:

Answer 3

$\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}=\sqrt{4x}$. Por ejemplo: $\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{12}$.