distinto de cero dígitos en la representación decimal de $\sqrt{2}$

Question

deje $1,d_1d_2d_3\dots$ ser una representación decimal de $\sqrt{2}$.

Demostrar que al menos uno de los $d_i$ $10^{1999}<i<10^{2000}$ es distinto de cero.

No tengo idea de cómo resolverlo. Creo que los límites fijados, significa el año, y uno se puede generalizar que la sustitución de $1999$ $2000$ $n$ $n+1$ respectivamente.

Answer 1

Usted no necesita ninguna fantasía teoremas. Usted sólo tiene que pensar acerca de lo que sucede cuando usted cuadrado de un número, dígito por dígito. Todos los ceros (seguido, tarde o temprano, por un no-dígito cero) resultará en un bloque de ceros en el producto, seguido por un no-dígito cero. Lo cual es imposible, puesto que el cuadrado es $2.0000\ldots$

Editado para añadir: he dejado fuera los detalles, pero Joffan la respuesta de hace un excelente trabajo de llenado de los mismos.

Answer 2

Una cosa para recordar para aprehender el problema es que la propuesta de número de ceros consecutivos es nueve veces el número de dígitos a ese punto.

Así que, asumiendo que los dígitos en la citada porción de la expansión decimal son todos cero:

Separada $\sqrt 2$ en dos partes, $A$ $B$ donde $A$ se compone de todos los dígitos con el valor de posición mayor que $ 10^{-10^{1999}} $ $B$ el (irracional) de la porción menos de $10^{-10^{2000}}$. Ahora $(\sqrt 2)^2 = (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Ahora los más pequeños (no-cero) dígitos de $A$ tiene un cuadrado valor de no menos de $10^{-2*10^{1999}}$ y el mayor valor de posición que puede ser afectado por el resultado de $2AB$ es de aproximadamente $2.8\cdot10^{-10^{2000}}$. Por lo tanto, estos cálculos no interactúan y nos quedamos con la no-cero dígitos en el resultado, lo que contradice la definición de $\sqrt 2$.

Por lo tanto, no debe ser distinto de cero dígitos dentro de esa porción de la representación decimal de $\sqrt 2$.

El lado observación es que no podemos tener más ceros consecutivos que hemos tenido dígitos hasta el momento en la representación.

Answer 3

Suponiendo que todos los dígitos son iguales a cero, tenemos que $$m=10^{10^{1999}}\sqrt{2}$$ es casi un entero, pero eso no puede ocurrir en virtud de Hurwitz teorema. En particular, para cualquier convergente $\frac{p_n}{q_n}$ de la continuación de la fracción de $\sqrt{2}=[1;2,2,2,\ldots]$ tenemos: $$\left|\sqrt{2}-\frac{p_n}{q_n}\right|\geq \frac{1}{2}\left|\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac{1}{2q_n q_{n+1}}\approx\frac{1}{2(\sqrt{2}+1)\,q_n^2}. $$