Contraejemplos para "todos lineal mapa en un infinito dimensional complejo espacio vectorial tiene un autovalor"

Question

Cada lineal mapa en un número finito de dimensiones complejas espacio vectorial tiene un autovalor. No así en el caso infinito.

Estoy interesado en niza ejemplos en contra de que alguien podría tener.

He aquí uno:

Considere el espacio vectorial $\mathbb C^\infty$ de las secuencias y el derecho de cambio de mapa $R$ definido por

$$R(a_1, a_2, a_3, ...) = (0, a_1, a_2, a_3, ...)$$

$R$ no tiene ningún valor propio (el uso de la costumbre, convención que debe ser un no-trivial autovector).

Answer 1

Deje $C[0,1]$ ser el espacio lineal de funciones continuas en $[0,1]$; este espacio lineal es una completa normativa espacio lineal (es decir, un Espacio de Banach) cuando se da la máxima norma $\|f\|=\max_{t \in [0,1]}|f(t)|$. El operador de Volterra $$ (Vf)(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt $$ mapas de funciones continuas para funciones continuas. $V$ ha trivial espacio nulo debido a $(Vf)(x)=0$ todos los $x$ implica $f(x)=0$ todos los $x$ por el Teorema Fundamental del Cálculo. Por lo $V$ no ha $0$ como un valor propio. Si $Vf=\lambda f$ para un no-cero $\lambda$, $f=\frac{1}{\lambda}Vf$ es continuamente diferenciable con $f'=\frac{1}{\lambda} f$$f(0)=0$, que sólo tiene la solución trivial $f\equiv 0$.

Answer 2

En el espacio de $\mathbb C^{\omega}$ el operador de desplazamiento a la derecha el envío de $(a_1,a_2,\ldots)\mapsto (0,a_1,a_2,\ldots)$ no tiene valor propio. Para ver esto suponga $i$ es el primer índice con $a_i$ distinto de cero. A continuación, después del cambio de índice de $i$ es 0, pero el índice de $i+1$ no está, así que el vector no puede ser un múltiplo de la original.

Answer 3

Deje $\mathcal{H}=L^2([0,1])$. Dado $f \in C([0,1])$, definir el operador de multiplicación $M_f : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ por $$M_fh(x) = f(x)h(x).$$ Then $M_f$ is a bounded linear operator on $\mathcal{H}$. But if we take $f(x) = x$ (for example), then $M_f$ no tiene autovalores.

Answer 4

Ejemplo : En los espacios de polinomios $\mathbb{C}[X]$, el anti-derivado $P \mapsto Q$ $Q' = P$ $Q(0) = 0$ no tiene valor propio.

Answer 5

Hay una fácil generalización del ejemplo en la pregunta. En el polinomio anillo de $\Bbb C[X]$, $\Bbb C$- lineal operador $\phi: Q\mapsto PQ$ de la multiplicación por una fija no constante polinomio $P$ no puede tener valores propios. Esto es simplemente para que desde el si $Q\neq0$ fueron un autovector de a$~\lambda$, entonces se lave $(P-\lambda)Q=0$, contradiciendo ese $\Bbb C[X]$, es una parte integral de dominio. En el ejemplo de la pregunta es el caso de $P=X$.

Se puede generalizar este con los otros $\Bbb C$-álgebras de que son parte integral de los dominios, de los cuales hay muchos.

Podría ser vale la pena destacar, y lo hice en esta respuesta, que a pesar de que no existen valores propios, uno puede hacer (la imagen de) cualquier vector distinto de cero convertido en un vector propio para cualquier autovalor por tomar un seleccionados adecuadamente, cociente de $\Bbb C[X]$ $\phi$- estable subespacio.