Max Min de la función de menos de Min / max de la función

Question

No puedo entender por qué max min de una función es menor que igual a min max de que la función del yo.e
Por qué $$\underset{x}{\text{max}}\:\underset{y}{\text{min}} f(x,y) \leq \underset{y}{\text{min}}\:\underset{x}{\text{max}}f(x,y)$$
Aquí $x,y \in \mathbb{R}$ $f(x,y)\in \mathbb{R}$
Por otra parte, no acabo de entender de manera intuitiva lo que es el efecto de cambiar el orden de max y min.
Supongamos $(\hat{x},\hat{y})$ es la solución de $\underset{x}{\text{max}}\:\underset{y}{\text{min}} f(x,y)$, entonces ¿por qué esta no es la misma solución para $\underset{y}{\text{min}}\:\underset{x}{\text{max}}f(x,y)$.
Una cosa más que quiero saber es evaluar interior de la optimización de la primera o exterior ? yo.e en $\underset{x}{\text{max}}\:\underset{y}{\text{min}} f(x,y)$, evaluamos $\underset{y}{\text{min}}$ o $\underset{x}{\text{max}}$ primero ?

Answer 1

Uno se pregunta, en que $$ \max\limits_x\left(\min\limits_sf(x,s)\right)\leqslant\min\limits_y\left(\max\limits_tf(t,y)\right). $$ La afirmación es equivalente al hecho de que, para cada $x$$y$, $$ \min\limits_sf(x,s)\leqslant\max\limits_tf(t,y). $$ Desde $\min\limits_sf(x,s)\leqslant f(x,y)\leqslant\max\limits_tf(t,y)$, por definición, esta se mantiene.

Answer 2

Tal vez un simple ejemplo ayudará. Deje $f(x,y) = \sin(x+y)$. Entonces

$\underset{y}{\text{min}} f(x,y) = -1$ todos los $x$; y

$\underset{x}{\text{max}} f(x,y) = +1$ todos los $y$.

Por lo $\underset{x}{\text{max}}\:\underset{y}{\text{min}} f(x,y) = \underset{x}{\text{max}} (-1) = -1$; pero $\underset{y}{\text{min}}\:\underset{x}{\text{max}} f(x,y) = \underset{y}{\text{min}} (+1) = +1\,$.

Answer 3

Yo he encontrado esta pregunta, en ML, de la clase de mina y se fue a resolver yo mismo en casa ya que el profesor no se da ninguna prueba. Aquí está:
Deje $ f(x_{0}, y_{0}) = \max_x\min_y f(x, y)$$f(x_{1}, y_{1}) = \min_y\max_x f(x, y)$.
Por esta definición, el problema es demostrar que $f(x_{0}, y_{0}) \leq f(x_{1}, y_{1})$ siempre que exista.
Por definición de min y max de la función tenemos:
$\min_yf(x, y) = f(x, y_{0}) \leq f(x, y) \forall y$. Aquí $\min_yf(x, y)$ sería una función sólo de x. $\max_xf(x, y_{0})=f(x_{0}, y_{0}) \geq f(x, y_{0})\forall x$. Aquí $\max_xf(x, y_{0})$ es un escalar. $\max_xf(x, y)=f(x_{1}, y) \geq f(x,y) \forall x$. Aquí $\max_xf(x_{1}, y)$ es una función de y. $\min_yf(x_{1}, y)=f(x_{1},y_{1}) \leq f(x_{1}, y) \forall y$. Aquí $\min_yf(x_{1}, y)$ es un escalar.
De toda esta ecuación se obtienen los siguientes desigualdades: $f(x, y_{0}) \leq f(x_{0},y_{0}) \leq f(x,y) \leq f(x_{1}, y_{1}) \leq f(x_{1}, y)$ $\min_yf(x,y) \leq \max_x\min_yf(x,y) \leq f(x,y) \leq \min_y\max_xf(x,y) \leq \max_xf(x,y)$ $g(x) \leq Scalar \leq f(x,y) \leq Scalar \leq h(y)$
Espero que la última cosa como la visualización ayuda a entender el problema.

Answer 4

Deje $\hat x,\hat y$ ser los argumentos responsable por el valor de $\underset{x}{\text{max}}\:\underset{y}{\text{min}} f(x,y)$. A continuación, $f(\hat x,y)\ge f(\hat x,\hat y)$ todos los $y$. Para cada $y$, la maximización $\underset{x}{\text{max}}f(x,y)$ se extiende por encima de estos valores, y por lo tanto $\underset{x}{\text{max}}f(x,y)\ge f(\hat x,\hat y)$ todos los $y$, y por lo tanto también se $\underset{y}{\text{min}}\:\underset{x}{\text{max}}f(x,y)\ge f(\hat x,\hat y)=\underset{x}{\text{max}}\:\underset{y}{\text{min}} f(x,y)$.

Answer 5

La desigualdad debe ser $\sup_x\inf_yf(x,y)\leq \inf_y\sup_x f(x,y)$. Considere la posibilidad de $f(x,y)= x^2y^2$.