Conjunto abierto cuyo límite no es un conjunto null

Question

Acabo de ver un theorm sobre un conjunto acotado $A \subset \mathbb{R}^n$. $$\chi_A \text{ is Riemann integrable} \Longleftrightarrow \partial A \text{ is a null set}$$

Entonces, me pregunto si hay algún conjunto abierto cuyo límite no es un conjunto null. Me puedes dar un ejemplo para que?

Answer 1

Considere la posibilidad de $A$ grasa conjunto de Cantor, por ejemplo, un conjunto de medida $\frac13$. $A$ es cerrado, por lo que su complemento es abierto, y también a $A$ es denso en ninguna parte, por tanto, su complemento es densa. Es decir que el $U=[0,1]\setminus A$ está abierto, así que para la medida de Lebesgue $m$ tenemos: $$m(\partial U)=m([0,1]\setminus U)=m(A)=\frac13.$$

Answer 2

Deje $\{r_k,k\in\Bbb N\}$ una enumeración de los números racionales de $[0,1]$. Considerar el mapa de $t\mapsto \bigcup_{n\geq 0}\left(r_n-t\cdot 2^{-n}, r_n+t\cdot 2^{-n}\right)=O_t$. A continuación, $O_t$ es un conjunto abierto, y $f\colon t\mapsto \lambda(O_t)$ es creciente y continua (de hecho $1$-Lipschitz continua). Por tanto, para $\delta\in (0,1)$ usted puede encontrar $t$ tal que $\lambda(O_t)=\delta$, e $O_t$ es un subconjunto denso de $[0,1]$. Su límite es $[0,1]\setminus O_t$, el cual tiene una medida de $1-\delta\neq 0$.

Más generalmente, usted puede encontrar un subconjunto abierto de $\Bbb R$ cuyo límite tiene una medida de $m$ donde $r$ es arbitraria fijo número positivo (usted también puede tener $m=+\infty$ cuando tome $\{r_k\}$ una enumeración de los racionales (de toda la recta real) y $O:=\bigcup_{k\geq 1}(r_k-2^{-k},r_k+2^{-k})$.