La matanza de funciones sucesivas de la diferenciación.

Question

Está claro que una función polinómica $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ tiene la propiedad de que algunos derivados de $f$ se desvanece. (Por supuesto, es la $(n+1)$-ésima derivada.) También se puede comprobar que la inversa de implicación es verdadera: si $f^{(n+1)}(x) = 0$ (idéntico), a continuación, $f$ tiene que ser un polinomio de grado en la mayoría de las $n$. (Incluso hay un hecho más fuerte, es decir, si para cualquier $x$ hay$n$$f^{(n)}=0$, $f$ es un polinomio, pero eso es irrelevante aquí.) Si uno toma un polinomio de función logarítmica $f$ compone de términos como " $x^a \log^b x$ donde $a,b$ puede ser tomado racional, entonces la misma cosa sigue siendo cierto: no es $n$ tal que $f^{(n+1)}(x) \to 0$$x \to \infty$. Tales funciones han polinomio de crecimiento: son delimitadas por $x^N$ algunos $N$ (y por lo suficientemente grande $N$).

Me gustaría saber hasta qué punto lo contrario también es cierto: Supongamos que $f$ se define en $\mathbb{R}_+$ y liso, y que para algunos $n$, $f^{(n+1)}(x) \to 0$ como $x \to \infty$. Es cierto que $f(x)$ está delimitado por $C x^N$ para algunos $N$, $C$? Se puede tomar $N=n$?

Answer 1

A mí me parece que el valor medio teorema implica bastante fácilmente que, si la derivada de una función está acotada por un polinomio de grado $d$ (para valores grandes de la argumentación), entonces la función es acotada por un polinomio de grado $d+1$. Así, en su situación, si $f^{(n+1)}$ tiende a $0$ y por lo tanto está limitada por una constante, entonces $f^{(n)}$ es limitada por una función lineal, $f^{(n-1)}$ por una ecuación cuadrática, etc., hasta $f$ está acotada por un polinomio de grado $n+1$.

No me queda claro si la información adicional, que $f^{(n+1)}$ tiende a $0$ frente al mero hecho de ser delimitada, mejorará significativamente el límite en $f$. El problema es que $f^{(n+1)}$ podría tienden a $0$ muy lentamente.