Campo eléctrico dentro de un polígono regular con cargas en las esquinas

Question

Si tenemos cargas iguales situadas en las esquinas de un polígono regular, entonces el campo eléctrico en su centro es cero. ¿Existen otros puntos dentro de un polígono donde el campo desaparezca? El caso más sencillo sería un triángulo equilátero de cargas iguales. Pensé que sería fácil encontrar la ubicación de esos otros puntos, si es que existen. Me resulta difícil demostrar o refutar su existencia.

Answer 1

1. Se puede hacer el cálculo (expandir el potencial al segundo orden alrededor del centro) y demostrar que el centro del polígono es un mínimo de potencial.
2. Somos libres de elegir $V(\infty)=0$ Si lo hacemos así, será fácil demostrar que el potencial en el centro del polígono es positivo.
3. Combinando los resultados anteriores con el hecho de que el potencial es una función analítica(excepto las cargas puntuales, evitémoslas); nos dirá que en nuestro movimiento radial desde el centro del polígono hasta el infinito, el potencial debe tener un máximo.
4. En ese máximo, la componente radial del campo eléctrico sería nula.
5. También sabemos que $\nabla\times\vec E=0$ por lo que si consideramos el conjunto de puntos(bucle) donde $\vec E.\hat r=0$ Existen algunos puntos en los que $\vec E . \hat{\phi}=0$ .

Lo anterior es la prueba de existencia que estabas buscando. Sin mucho más esfuerzo se puede demostrar que estos puntos deben estar sobre los ejes de simetría del polígono.

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Material adicional

Similar a la respuesta de DumpsterDoofus, puedes usar la función de Mathematica de abajo para generar líneas equipotenciales y encontrar los ceros de $\left|\vec E\right|$ .

equipotential[n_]:=DensityPlot[(Norm[Sum[{(x-Cos[2\[Pi] i/n])/((x-Cos[2\[Pi] i/n])^2+(y-Sin[2\[Pi] i/n])^2)^(3/2),(y-Sin[2\[Pi] i/n])/((x-Cos[2\[Pi] i/n])^2+(y-Sin[2\[Pi] i/n])^2)^(3/2)},{i,1,n}]])^-1,{x,-7/6,7/6},{y,-7/6,7/6},MeshFunctions->{#3&,#3&},Mesh->{Range[0, 0.1, 0.01]~Join~Range[0,2,0.1]},MeshStyle->{{Yellow,Dashed}},PlotRange->{0,20},ColorFunction->"GrayTones",PlotPoints->{200,200},ImageSize->1000]

Por ejemplo:

equipotential[5]

nos da:

Nota: Las líneas equipotenciales no tienen una escala uniforme. Si desea ver la escala uniforme de las líneas equipotenciales, elimine la opción $-1$ potencia en el código(y simplificar un poco mi Mesh). Además, las cargas se colocan en algún lugar alrededor del centro de esos grandes círculos.

Estimación del lugar de los ceros:

En primer lugar, estoy seguro de que en la mayoría (si no en todos) de estos casos, no se pueden encontrar los ceros no triviales del campo eléctrico analíticamente. Dicho esto, todavía podemos escribir una ecuación, que sus raíces son los ceros que estamos buscando. Siendo ingenuos, esa ecuación sería el campo eléctrico en las coordenadas $(x,y)$ (¡¡¡Duh!!!); pero utilizando las simetrías del problema, sólo debemos fijarnos en los ejes de simetría, lo que simplificará el procedimiento.

Esta es una forma de escribir la ecuación:

$$\frac{\partial}{\partial r}\left(\sum_{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{\left(r-\cos\left(\frac{(2j+1) \pi }{n}\right)\right)^2+\sin^2\left(\frac{(2j+1) \pi }{n}\right)}}\right)=0 \\ \Rightarrow \sum_{j=1}^N \frac{r-\cos \left(\frac{2j+1}{n}\pi \right)}{\sqrt{\left(r-\cos \left(\frac{2j+1}{n}\pi \right) \right)^2 +\sin^2\left(\frac{2j+1}{n}\pi \right)}}=0 $$

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Adenda:

Esto es sólo jugar con Mathematica, para hacer gráficos aún más exóticos. La función de abajo hace el mismo trabajo que la de arriba, excepto que ahora también dibuja líneas de campo eléctrico.

fieldandpotential[n_]:=Show[DensityPlot[(Norm[Sum[{(x-Cos[2\[Pi] i/n])/((x-Cos[2\[Pi] i/n])^2+(y-Sin[2\[Pi] i/n])^2)^(3/2),(y-Sin[2\[Pi] i/n])/((x-Cos[2\[Pi] i/n])^2+(y-Sin[2\[Pi] i/n])^2)^(3/2)},{i,1,n}]])^-1,{x,-7/6,7/6},{y,-7/6,7/6},MeshFunctions->{#3&,#3&},Mesh->{Range[0,0.1,0.01]~Join~Range[0.1,2,0.1]},MeshStyle->{{Yellow,Dashed}},PlotRange->{0,20},ColorFunction->"GrayTones",PlotPoints->{200,200},ImageSize->1000],StreamPlot[Sum[{(x-Cos[2\[Pi] i/n])/((x-Cos[2\[Pi] i/n])^2+(y-Sin[2\[Pi] i/n])^2)^(3/2),(y-Sin[2\[Pi] i/n])/((x-Cos[2\[Pi] i/n])^2+(y-Sin[2\[Pi] i/n])^2)^(3/2)},{i,1,n}],{x,-7/6,7/6},{y,-7/6,7/6},StreamStyle->{Lighter[Purple],Arrowheads[0.01]},StreamPoints->1000,StreamScale->Tiny]]

Por ejemplo:

fieldandpotential[6]

da:

Nota: Las flechas del campo eléctrico (cerca del centro) apuntan hacia el centro. Esto significa, como hemos afirmado(y es demostrable para el caso general $n\ge 3$ ), el centro es un mínimo de potencial.

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Mínimo potencial:

En la primera parte de mi respuesta, he dicho que el centro del polígono es un mínimo de potencial eléctrico. Esta parte es para mostrar cómo eso es cierto(para $n\ge3$ ). Voy a ampliar $V(\vec {\delta r})$ de segundo orden en $\delta \vec r$ . Sé que las matemáticas se complican un poco (dependiendo de a lo que estés acostumbrado, en realidad no es tan complicado), pero esta es la forma más limpia que conocía. Pongamos $n$ cargas en los puntos $$\vec{R_j}=R(\cos(j \theta_n)\hat x +\sin(j \theta_n)\hat y)=R\hat{\eta}_{j,n} $$ donde $\theta_n = \frac{2\pi}{n}$ . Además, para simplificar, definamos $\vec{\delta \eta}=\frac{\vec{\delta r}}{R}$

\begin{align} \frac{4\pi\epsilon_0 R}{q}V(\vec{\delta r})&=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{R}{\sqrt{R^2+\delta r^2-2\vec{R_j}.\vec{\delta r}}} \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{1+\delta\eta^2+2\hat\eta_{j,n}.\vec{\delta \eta}}} \\ &\approx \sum_{j=0}^{n-1}\left(1-\hat\eta_{n,j}.\vec{\delta \eta}-\frac{\delta \eta^2}{2}+\frac 3 2 (\hat\eta_{n,j}.\vec{\delta \eta})^2 + \mathcal{O}(\delta \eta^3)\right)\\ &= n -\left(\sum_{j=1}^n \hat\eta_{n,j}\right).\vec{\delta \eta}-\frac n 2 \delta \eta^2 + \frac {3n} 4 \delta \eta^2\\ &= n + \frac n 4 \delta \eta^2 \end{align}

Los tres primeros términos son sencillos de calcular; para el último término, $\frac 3 2 \sum_{j=0}^{n-1} (\hat\eta_{n,j}.\vec{\delta \eta})^2$ Obsérvese que tenemos que hacer un sumatorio de la forma:

\begin{align} \sum_{k=1}^n \cos^2(k \theta_n-\theta_0)&=\sum_{k=1}^n \frac{1+\cos(2(k \theta_n-\theta_0))}{2}\\ &=\frac{n}{2}+\frac 1 2 \sum_{k=1}^n \Re \left(\mathcal e^{\frac{4\pi k i}{n}}\mathcal{e}^{-2 i \theta_0} \right) \\ &=\frac{n}{2}+\frac 1 2 \Re\left(\mathcal{e}^{-2 i \theta_0} {\sum_{k=1}^n \mathcal e^{\frac{4\pi k i}{n}}}\right) \\ &=\frac n 2 + \frac 1 2 \Re(0) = \frac n 2 \end{align}

Nota: $\Rightarrow V(\vec{\delta r})\approx \frac{nq}{4\pi \epsilon_0 R}+\frac{nq}{16\pi \epsilon_0 R^3}\delta r^2$ . Así pues, hasta el segundo orden, las diferencias de potencial eléctrico tienen simetría azimutal.

Answer 2

Además de la respuesta de Ali, aquí hay algunas imágenes que pueden ser útiles para convencer a la gente de que el origen no es el único punto dentro del polígono donde $\mathbf{E}=\mathbf{0}$ . Dejando que las cargas se sitúen en $(\cos(2\pi k/N),\sin(2\pi k/N))$ para $k\in\{1,2,...,N\}$ podemos generar gráficos de $|\mathbf{E}|^{-1}$ para varios $N$ . Los ceros de $\mathbf{E}$ aparecerán entonces como brillantes singularidades incandescentes.

Ejemplo $N=3$ (en Mathematica):

X = {x, y};
n[x_] := Sqrt[x.x];
m = 3;
U = Sum[n[X - {Cos[2 \[Pi] k/m], Sin[2 \[Pi] k/m]}]^-1, {k, m}];
expr = n[D[U, {X, 1}]]^-1;
L = 0.45;
DensityPlot[expr, {x, -L, L}, {y, -L, L}, PlotRange -> {0, 14}, 
 PlotPoints -> 50, PlotLabel -> "N = " <> ToString[m], 
 ColorFunction -> GrayLevel, ImageSize -> 450]

Del mismo modo, para $N\in\{4,5,6,7,8,9\}$ sus raíces se distribuyen así:

Nótese que en todos los casos, los ceros se encuentran a lo largo de los ejes de reflexión del grupo de simetría que no pasan por ninguna de las cargas.

Answer 3

Sabemos que el campo debido a una carga puntual es cero a una distancia infinita (y más allá) de ella.

Consideremos un cuadrado con cargas iguales en los ángulos. Supongamos que la longitud del lado del cuadrado para ser tal que, campo eléctrico debido a las cargas en las esquinas de ese lado, se convierte en cero (como el campo es cero en el infinito y más allá de ella) en algunos puntos a lo largo de la longitud. A continuación, una parte (no uno o dos puntos) en el interior del cuadrado tendrá cero campo eléctrico neto debido a las cargas.

Lo mismo ocurre con otros polígonos cuyos lados tienen una longitud lo suficientemente grande como para que el campo debido a las cargas en las esquinas de un lado concreto sea cero en algún punto a lo largo de la longitud (también hace que el campo sea cero en algunas partes del interior del polígono).