¿La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$ ¿converger?

Question

¿Converge la siguiente serie? $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$$

Como $$\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}},$$ Estaba pensando que podría considerar esto como una serie p con $p>1$ . Pero no estoy seguro de que esto sea correcto, ya que con la serie p, p es un número fijo, ¿no? Por otro lado, $1+\frac{1}{n}>1$ para todos $n$ . ¿Alguna pista?

Answer 1

Una pista: $\sqrt[n]{n}\to1$ cuando $n\to\infty$ por lo tanto, por comparación con la serie $\sum\limits_n\frac1n$ Esta serie $______$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $\sqrt[n]{n}\le 2$ . Esto se puede demostrar por inducción, ya que es equivalente a $n\le 2^n$ .

Así, $$\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}\ge \frac{1}{2n}.$$ Se deduce por comparación con (la mitad de) la serie armónica que nuestra serie diverge.

Answer 3

Prueba de comparación de límites:

$$\frac{\frac{1}{n\sqrt[n]n}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]n}\xrightarrow[n\to\infty]{}1$$

Para que ambos

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\sqrt[n] n}\,\,\,\text{and}\,\,\,\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$$

convergen o ambos divergen...

Answer 4

AM-GM da $$ \sqrt[n]{n}\leq\frac{1}{n}(n+\underbrace{1+\cdots+1}_{n-1})=\frac{1}{n}(2n-1)<\frac{1}{n}2n\implies\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}>\frac{1}{2}\frac{1}{n} $$ así que $$ \sum_{n=1}^M\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}>\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^M\frac{1}{n}\right)\cdot $$