dar un ejemplo de una función integrable en $\mathbb R $ y $\lim_{ x\to \infty}f(x)\neq0$

Question

hice una búsqueda para tal función, pero no encontrado nada útil o completa! Así:

Función integrable $f$ $\mathbb R$ no implica que límite $f(x)$ es cero

¿Hay alguna función que es integrable y $\lim_{x \to \infty}f(x) \neq0 $ y $\infty$??

Answer 1

Si el % de límite $L:=\lim_{x\to\infty} f(x)$existe y es distinto de cero, entonces seguramente $\int_0^b f(x)\,dx$ crece esencialmente como $Lb$ $b\to\infty$ (porque big $b$, $\int_{b}^{b+1} f(x)\,dx\approx \int_b^{b+1}L\,dx$). Tenga en cuenta que la pregunta relaciona habla de $\limsup$, no el $\lim$.

Answer 2

Tomar una función cuya gráfica es una secuencia de triángulos cuyas bases son el eje de $x$, y el triángulo de $n$-th tiene tamaño de $\frac1{n^2}$.

La integral de esta función es finita, pero no hay límite en $\infty$.

Answer 3

Puede hacer esto con una imagen. En cada número entero, dibujar una protuberancia con área $1/2^n$ debajo de él. Esto da la gráfica de una función $f$ $$\int_0^\infty f(x)\,dx = 1$ $ pero no tienes $f(x) \to 0$ $x\to\infty$. De hecho, usted puede dibujar Estas protuberancias tan altas como te gustaría así que usted podría tener %#% $ #%

Answer 4

Answer 5

También puede crear una función con la serie geométrica. Así que $f_n = \chi_{[n,n+ \frac{1}{2^n}]}$ y set $f = \sum_{n=1}^{\infty} f_n$. $f$ es 1 infinitamente a menudo por lo que no tiende a 0, pero es claramente integrable.