¿Cuál es el punto de una elevación en la topología?

Question

Yo sólo he cubierto 'ascensores' en topología y homotopía de elevación a un plano de cubierta pero estoy luchando para entender la intuición detrás de ascensores y esencial el 'punto' de ellos.

¿Alguien podria por favor explicarme esto intuitivamente? ¡Gracias!

Answer 1

Probablemente uno de los primeros ejemplos de una cubierta de mapa verás es $p:\Bbb R\to S^1$ donde $$p(x)=e^{2\pi ix}$$ (que es, al $x$ $n$ $n+1$en $\Bbb R$, $p(x)$ hace una ronda alrededor de $S^1$ en sentido antihorario). Ahora tome un camino de $\alpha:I\to S^1$ tal que $\alpha(0)=1$ (donde $I=[0,1]$). Podemos demostrar que no existe un único ascensor $\tilde\alpha:I\to\Bbb R$ tal que $\tilde\alpha(0)=0$$p\circ\tilde\alpha=\alpha$. Este ascensor, básicamente, "endereza" el camino de $\alpha$.

Inicio en $t=0$, $\alpha(0)=1\in S^1$. Ahora hay una cubierta de barrio para$1$, lo que significa que si usted cambia de $t$ poco suficiente para que $\alpha(t)$ se queda en este barrio, sólo hay una forma posible de definir $\tilde\alpha$ tal que $p\circ\tilde\alpha(t)=\alpha(t)$ aún se mantiene, es decir, $\tilde\alpha(t)=p^{-1}\circ\alpha(t)$ (desde $p^{-1}$ existe en este barrio). Observe que si $\alpha(t)$ va en sentido antihorario, $\tilde\alpha(t)$ debe ir a la derecha en $\Bbb R$, y viceversa.

Siguen así, siempre volviendo un poco hacia adelante, hasta llegar a la $t=1$. Observe que si $\alpha$ hace un completo viaje alrededor $S^1$, $\tilde\alpha$ viajará una unidad (por ejemplo, de$0$$1$). En la final, $\tilde\alpha(1)$ le dirá cuántas veces y en qué dirección, $\alpha$ ha viajado alrededor de $S^1$ en total. Con esto se puede demostrar que el grupo fundamental de la $S^1$ es isomorfo a $(\Bbb Z,+)$.

Answer 2

Hay muchas respuestas a esta pregunta, todos pertenecientes al hecho de que los ascensores son muy importantes en homotopy teoría. Por ejemplo, automorfismos de cubrir los espacios pueden ser utilizados para calcular fundamentales de los grupos, y la homotopy elevación de la propiedad que se usa para definir fibrations. No quiero que te bombardean con ejemplos, así que voy a dejar en este; pero si se lee más adelante en su libro de texto usted probablemente encontrará las elevaciones de todo el lugar.