pregunta sobre derivada de función exponencial

Question

Cuando probé derivación la función exponencial se exponga con el problema que tiene que usar derivado de $e^x$ % $ $$\frac{de^x}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h} -e^x}h=\lim_{h\to 0} e^x \frac{e^h-1}h =e^x \cdot \lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}h$

Calcular $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}h$ pero no puede utilizar el teorema de l'hopital y Teorema de Taylor porque uso derivado de $e^x$. Por favor me ayude a resolverlo.

Answer 1

Supongo que se puede utilizar que $\ e^h=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac hn \right)^n$.

Sugerencia: Utilizar el inequation de Bernoulli: $(1+x)^{\alpha} \ge 1+\alpha x$ si $x > -1$ y $\alpha>0$, por lo que cede $e^h\ge 1+h\ $ si $\ h> -1$ y su recíproco para lo contrario demostrar que el límite que usted busca es $1$.

Answer 2

A veces, el hecho de que ese límite es $1$ es para ser llevado a la definición de $e$. (Eso es lo que se hace en Stewart del libro de texto.)

Suponiendo que había a $\dfrac{d}{dx} 4^x$ en lugar de $\dfrac{d}{dx} e^x$. Usted conseguiría $4^x\cdot\lim\limits_{h\to0}\dfrac{4^h - 1}{h}$.

Pero la función de $y=4^x$ hace más empinada a medida que vaya de izquierda a derecha, y la pendiente de su secante línea a través de los puntos donde se $x=-1/2$$x=0$$1$; por lo tanto, la pendiente de la curva en $x=0$ es más que $1$. Si tuvieras $y=2^x$, tendría que considerar la secante de línea en $x=0$ $x=1$ y a la conclusión de que la pendiente en $0$ es menos de $1$.

Por lo $4$ es demasiado grande, y $2$ es demasiado pequeño, al ser la base de la función exponencial natural. En algún lugar entre el $2$ $4$ es el número de la derecha. Si $e$ es que el número de la derecha, entonces por supuesto que la pendiente en $0$$1$.

(Lo que esta omite es cómo sabemos que sólo cuando ese número es, es decir, que el es $2.71828\ldots$, más allá del hecho de que se entre $2$$4$.)

Answer 3

Utilizar la definición de límite: $$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x+h }-{ e }^{ x } }{ h } } ={ e }^{ x }\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-1 }{ h } } ={ e }^{ x }\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-{ e }^{ 0 } }{ h } } .$ $

$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-{ e }^{ 0 } }{ h } } $ es el derivado de $e^x$ $x=0$. Por lo tanto podemos escribir $\frac { d }{ dx } { e }^{ x }$ como $$\frac { d }{ dx } { e }^{ x }={ e }^{ x }{ \left[ \frac { d }{ dx } { e }^{ x } \right] }_{ x=0 }.$$ Open ${\left [\frac {d} {dx} {e} ^ {x} \right]} _ {x = 0} $ in a similar way, you get $${ \left[ \frac { d }{ dx } { e }^{ x } \right] }_{ x=0 }={ e }^{ 0 }{ \left[ \frac { d }{ dx } { e }^{ x } \right] }_{ x=0 }={ e }^{ 0 }{ e }^{ 0 }{ \left[ \frac { d }{ dx } { e }^{ x } \right] }_{ x=0 }=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdots .$$ As a result $% $ $\frac { d }{ dx } { e }^{ x }={ e }^{ x }.$