Determinar si un cuadrático es siempre positivo

Question

¿Existe un método rápido y sistemático para averiguar si una ecuación cuadrática es siempre positiva o puede tener valores positivos y negativos o siempre negativos para todos los valores de sus variables?

Digamos que para una ecuación cuadrática: $3x^{2}+8xy+5xz+2yz+7y^{2}+2z^{2}>0$ , sin dibujar un gráfico para ver su forma, ¿cómo puedo averiguar si esta ecuación es siempre más que cero o si tiene resultados negativos o si siempre es negativa para todos los valores no cero de las variables?

Intenté sustituir los valores de las variables al azar pero nunca puedo estar seguro de haber cubierto todos los casos.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esto es lo que El criterio de Sylvester es para. Escribe tu cuadrática como $v^T A v$ donde $v$ es un vector de variables $(x_1\ x_2\ \cdots\ x_n)$ y $A$ es una matriz de constantes. Por ejemplo, en tu caso, te interesa $$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5/2 \\ 4 & 7 & 1 \\ 5/2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ Observa que las entradas fuera de la diagonal son la mitad de los coeficientes de la cuadrática.

La terminología estándar es que $A$ es "positivamente definida" si esta cantidad es positiva para todo lo que no es cero $v$ . El criterio de Sylvester dice que $A$ es positiva definida si y sólo si los determinantes de la parte superior izquierda $k \times k$ submatriz son positivos para $k=1$ , $2$ , ..., $n$ . En nuestro caso, necesitamos probar $$\det \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix} =3 \quad \det \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 4 & 7\end{pmatrix} = 5 \quad \det \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5/2 \\ 4 & 7 & 1 \\ 5/2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = -67/4.$$ Como la última cantidad es negativa, el criterio de Sylvester nos dice que esta cuadrática NO es positiva definida.

Answer 2

Reescribe tu expresión como una forma bilineal con una matriz simétrica en medio. Esto siempre se puede hacer. Por ejemplo, en tu caso, tu expresión es $$3x^{2}+8xy+5xz+2yz+7y^{2}+2z^{2} = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5/2 \\ 4 & 7 & 1 \\ 5/2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ Ahora sólo hay que comprobar que la matriz es definida positiva. Una buena propiedad de la matriz definida positiva es que cada submatriz diagonal debe ser definida positiva. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la matriz $$\begin{pmatrix} 3 & 5/2 \\ 5/2 & 2 \end{pmatrix}$$ no es positiva definida. Por lo tanto, no es posible que $$3x^{2}+8xy+5xz+2yz+7y^{2}+2z^{2}$$ es siempre positivo $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$

Answer 3

Uno de los métodos cuando no se conoce la condición necesaria y suficiente para el mínimo de la función de varias variables - considerar otras como parámetros. Usted sabe que para una función $$a_1x^2+b_1(y,z)x+c(y,z)$$ el mínimo se alcanza en $\frac{-b_1(y,z)}{2a_1}$ para $a_1>0$ y cualquier $y,z$ . Entonces, sólo tienes que sustituir esto en tu ecuación y resolver el problema mínimo con respecto a. $y$ y luego, en el tercer paso, para $z$ .

En su caso: $a_1 = 3, b_1 = 8y+5z$ , por lo que se pone $$x = -\frac{1}{6}(8y+5z)$$ y obtener una función $$\frac{1}{12}(20 y^2-56 y z-z^2)$$ que ciertamente puede ser inferior a cero debido a la negatividad del coeficiente con $z^2$ .

Finalmente, la desigualdad estricta nunca se cumple, ya que cualquier función cuadrática es igual a cero en el origen.

Answer 4

La matriz $H$ es la matriz hessiana de segundas derivadas parciales. Encontramos a partir de la "diagonalización de la congruencia" que los valores propios de $H$ son $++- \; \; .$ Por supuesto, las entradas diagonales de $D$ no son los propios valores propios. Se trata de Ley de inercia de Sylvester .

La ley de inercia de Sylvester es un teorema del álgebra matricial sobre ciertas propiedades de la matriz de coeficientes de una forma cuadrática real que permanecen invariantes bajo un cambio de base. En concreto, si $A$ es la matriz simétrica que define la forma cuadrática, y $S$ es cualquier matriz invertible tal que $D = SAS^T$ es diagonal, entonces el número de elementos negativos en la diagonal de $D$ es siempre la misma, ya que todos esos $S \; ; \;$ y lo mismo ocurre con el número de elementos positivos elementos positivos.

Si tuviera la energía para encontrar los vectores propios, podría escribir $O^T H O = D_0$ con la ortogonal $O$ y la diagonal $D_0,$ en cuyo momento las entradas diagonales de $D_0$ serían los valores propios. Sylvester dice que mi $P^T H P = D$ da el mismo número de entradas diagonales positivas y el mismo número de negativas, también el mismo número de entradas nulas. Para este ejemplo, dos valores propios positivos y uno negativo.

$$P^T H P = D$$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - \frac{ 4 }{ 3 } & 1 & 0 \\ - \frac{ 27 }{ 10 } & \frac{ 7 }{ 5 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 6 & 8 & 5 \\ 8 & 14 & 2 \\ 5 & 2 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 4 }{ 3 } & - \frac{ 27 }{ 10 } \\ 0 & 1 & \frac{ 7 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 10 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 67 }{ 10 } \\ \end{array} \right)$$

$$E_j^T D_{j-1} E_j = D_j$$ $$P_{j-1} E_j = P_j$$ $$E_j^{-1} Q_{j-1} = Q_j$$ $$P_j Q_j = I$$ $$P_j^T H P_j = D_j$$ $$Q_j^T D_j Q_j = H$$

$$H = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 8 & 5 \\ 8 & 14 & 2 \\ 5 & 2 & 4 \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 4 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 4 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 4 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 0 & 5 \\ 0 & \frac{ 10 }{ 3 } & - \frac{ 14 }{ 3 } \\ 5 & - \frac{ 14 }{ 3 } & 4 \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & - \frac{ 5 }{ 6 } \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 4 }{ 3 } & - \frac{ 5 }{ 6 } \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 4 }{ 3 } & \frac{ 5 }{ 6 } \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 10 }{ 3 } & - \frac{ 14 }{ 3 } \\ 0 & - \frac{ 14 }{ 3 } & - \frac{ 1 }{ 6 } \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{ 7 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 4 }{ 3 } & - \frac{ 27 }{ 10 } \\ 0 & 1 & \frac{ 7 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 4 }{ 3 } & \frac{ 5 }{ 6 } \\ 0 & 1 & - \frac{ 7 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 10 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 67 }{ 10 } \\ \end{array} \right)$$

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$$P^T H P = D$$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - \frac{ 4 }{ 3 } & 1 & 0 \\ - \frac{ 27 }{ 10 } & \frac{ 7 }{ 5 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 6 & 8 & 5 \\ 8 & 14 & 2 \\ 5 & 2 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 4 }{ 3 } & - \frac{ 27 }{ 10 } \\ 0 & 1 & \frac{ 7 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 10 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 67 }{ 10 } \\ \end{array} \right)$$ $$Q^T D Q = H$$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 4 }{ 3 } & 1 & 0 \\ \frac{ 5 }{ 6 } & - \frac{ 7 }{ 5 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 6 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 10 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{ 67 }{ 10 } \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 4 }{ 3 } & \frac{ 5 }{ 6 } \\ 0 & 1 & - \frac{ 7 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 8 & 5 \\ 8 & 14 & 2 \\ 5 & 2 & 4 \\ \end{array} \right)$$

Answer 5

Mi enfoque de esto es así:

Para una cuadrática regular de una variable, $ax^2+bx+c$ puedes encontrar su signo así: resolver $ax^2+bx+c=0$ y después

• entre las raíces (si las hay) el signo es opuesto al signo de $a$

• fuera de las raíces el signo es el signo de $a$ .

En tu caso quieres ver si una cuadrática es positiva todo el tiempo, y esto significa que no tiene raíces, es decir, el determinante $\Delta=b^2-4ac<0$ .

Ahora puedes resolver tu problema: considera la ecuación como una cuadrática en $x$ y supongamos que la condición $\Delta_x<0$ es cierto. Ahora se llega a una cuadrática en $y,z$ que debería ser negativo todo el tiempo. Consideremos esta segunda cuadrática como una cuadrática de una variable en $y$ y supongamos que la condición $\Delta_y<0$ es de nuevo cierto. A continuación se llega a una cuadrática en $z$ y si $\Delta_z<0$ todo el tiempo que se hace.

El otro método, tal y como decía la respuesta anterior, es formar cuadrados. Esto siempre es posible, y si los signos de los tres cuadrados formados no son todos positivos, entonces la cuadrática no es siempre positiva.

El tercer método utiliza el álgebra lineal, y puede buscar la definición positiva de la matriz de su cuadrática. Esto se puede hacer bastante rápido, pero utiliza determinantes. Si te interesa, te presentaré este método.