El siguiente aritmética de identidad se tiene: \begin{align} \Lambda(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \log \frac{n}{d} \end{align} donde $\mu(n)$ es la función de Moebius y $\Lambda(n)$ es la de von Mangoldt función. No relacionados con las siguientes Dirichlet convolución simplificar conocidos (o más) funciones? \begin{align} n \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} \log \frac{n}{d} \end{align}
Respuesta
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Sí,$$n \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} \log \frac{n}{d}=n \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} (\log(n)-\ln(d))$$ $$= \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} n\log(n)-n\frac{\mu(d)}{d}\ln(d)=n\ln(n) \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} -n\sum_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(d)$$ $$=\ln(n)\phi(n)-n\sum_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(d)=\ln(n)\phi(n)+\phi(n)\sum_{p\mid n}\frac{\ln(p)}{p-1}$$ Por lo tanto, $$n \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} \log \frac{n}{d}=\phi(n)( \ln(n)+\sum_{p\mid n}\frac{\ln(p)}{p-1})$$
