Hay más de un functor que arreglar objetos en la categoría de grupos?

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Encontrar dos functors $F_1,\ F_2: Grp \rightarrow Grp $ tal que $F_i G = G $ todos los $i=1,2$ $G \in Grp$ donde $Grp$ es la categoría de grupos.

Por supuesto, la identidad functor puede ser elegido como uno de los esta $F_i's$ pero no puedo encontrar otro.

Gracias

Answer 1

Deje $\alpha$ denotar una función que asigna a cada grupo $G$ un automorphism $\alpha_G : G \leftarrow G$. Entonces tenemos una identidad correspondiente-en-objetos functor $\mathbf{f}_\alpha : \mathbf{Grp} \leftarrow \mathbf{Grp}$ al afirmar que para todos los morfismos $\varphi:H \leftarrow G$, tenemos: $$\mathbf{f}_\alpha(\varphi) = \alpha_H \circ \varphi \circ \alpha^{-1}_G.$$

Si $\alpha$ está definido de tal forma que para todos los grupos de $G$ tenemos $\alpha_G = \mathrm{id}_G,$ $\mathbf{f}_\alpha$ es sólo $\mathrm{id}_\mathbf{Grp}$. Pero para otras opciones de $\alpha$, podemos potencialmente otros functors $\mathbf{Grp} \leftarrow \mathbf{Grp}$ que arreglar todos los objetos. Esto realmente no tiene nada que ver con $\mathbf{Grp}$, por supuesto; funciona para cualquier categoría que sea. Ordenada del ejercicio, por el camino!

De todos modos, vamos a ser un poco más explícito. Deje $K$ denotar su grupo favorito y $k$ denotar un no-central automorphism de $K$. Deje $\alpha$ asignar a cada grupo la función identidad, a excepción de $K$ que se le asigna el automorphism $k$. A continuación, $\mathbf{f}_\alpha$ es una identidad-en-objetos functor que es distinta de la $\mathbf{id}_\mathbf{Grp}$. Para ver esto, vamos a $j$ denotar un automorphism de $K$ que no conmuta con $k$. Por lo $j \circ k \neq k \circ j$. Por lo tanto $j \neq k \circ j \circ k^{-1}.$ En otras palabras, $j \neq f_\alpha(j)$.