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Las familias de Polinomios con específicas del Grupo de Galois

El cyclotomic polinomios Φn tienen grupo de Galois (Z/nZ)×.

¿Qué otras familias de polinomios no son conocidos con los grupos de Galois como este?

11voto

lhf Puntos 83572

He aquí un teorema general, que podría ser lo que estás buscando: Si f es una irreductible racionales polinómicas de primer grado p con exactamente dos raíces reales, entonces el grupo de Galois de f es el total de grupo simétrico Sp.

7voto

markedup Puntos 505

Tu pregunta es esssentially el punto de partida de la inversa de Galois problema (sobre Q): dado un grupo finito G, la construcción de una extensión (o una familia de extensiones) de Q con este grupo de Galois o demostrar que dicha prórroga no existe. En esta generalidad, es decir, para grupos arbitrarios, esto es todavía un problema abierto. Hay muchas variantes, por ejemplo, cambiando el campo base, o la imposición de condiciones en la ramificación en la extensión. Si buscas en google por la inversa de Galois problema, usted encontrará un montón de literatura en concreto a las familias de los grupos.

Aquí es muy útil como resultado Inverso de la teoría de Galois:

Teorema (Hilbert): Vamos a Q(T) ser el campo de función de una variable sobre la Q y deje f(T,X)Q(T)[X] ser un polinomio irreducible sobre este campo. Si la división de campo de la f tiene el grupo de Galois G, entonces no existen infinidad de bQ de manera tal que la división de campo de la f(b,X) Q tiene el grupo de Galois G.

Sin embargo, este resultado no es constructiva, es decir, no nos dice dónde encontrar el adecuado b, por lo que no acaba de responder a su pregunta. Pero no digo que infinidad de polinomios con un cierto grupo de Galois de existir, siempre y cuando usted puede darse cuenta de que el grupo de Galois sobre el campo de función.

Para el hormigón de las familias, aquí están algunos ejemplos, que no ha sido mencionado hasta ahora:

  • Si buscas en google por papeles de Jensen, Yui y colaboradores, podrás ver varios papeles en paramétrico de familias de polinomios con diedro grupos de Galois, o más en general, con ciertas Frobenius grupos de Galois.

  • Comenzando con curvas elípticas sobre Q sin complejos multiplicación y adyacentes a su p-torsión puede dar Galois grupos GL2(Fp). En principio, usted puede escribir paramétrico de las familias de los correspondientes polinomios de cualquier fija p escribiendo paramétrico de las familias de curvas elípticas con surjective imagen de Galois en Aut(E[p]), y por escrito su p-división de polinomios, pero va a ser un montón de trabajo.

  • Contiguo a la torsión de los puntos de mayores dimensiones abelian variedades, usted puede obtener más interesantes de la matriz de grupos. De nuevo, buscando en google algo como "l-ádico de la imagen de Galois abelian variedad" va a dar un montón de ejemplos.

También hay investigación activa sobre la cuestión: si G es una extensión de NH, y se las arregló para darse cuenta de N como una extensión de Galois de Q H como una extensión de Galois de un mayor campo, puede que te des cuenta de G como una extensión de Galois de Q? Google "problema con la extensión".

6voto

Xenph Yan Puntos 20883

Aquí está una familia de polinomios, el Rikuna polinomios, se me ocurre que han estudiado este verano pasado en una REU. El principal resultado sobre Rikuna polinomios es:

Deje ser un extraño prime. Deje K ser un campo cuya característica no divide . Deje ζ ser un primitve -ésima raíz de la unidad en algún campo que contenga K. Suponemos que ζ+ζ1K pero ζK. Definir p=ζ1(xζ)ζ(xζ1)ζ1ζ,q=(xζ)(xζ1)ζ1ζ. A continuación, r=pTqK(T)[x] tiene el grupo de Galois Z/ZK(T).

2voto

user8269 Puntos 46

Usted debe ser capaz de trabajar en el grupo de xn2 todos los n (o, más en general, el grupo de xna, con algunas leves restricciones sobre cómo los enteros n a se refieren).

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