La existencia de una función de utilidad sobre los reales

Question

Supongamos que tengo $\preceq$, un orden total en $\mathbb R^n$. Quiero mostrar que existe una función de utilidad $u:\mathbb R^n\to\mathbb R$ tal que $x\preceq y \leftrightarrow u(x)\leq u(y)$.

Se me ocurrió un constructiva de la prueba, lo que podría explicarse mejor con un ejemplo:

Supongamos que tenemos que $x_1\preceq x_2$. Podemos asignar $x_1$ utilidad de 0 y $x_2$ utilidad 1. Si $x_3$ es menor que $x_1$ se obtiene de utilidad -1, si es más grande que la $x_2$ se obtiene de utilidad 2, y si es entre se obtiene utilidad $1/2$. Continuar indefinidamente.

Esta es una prueba válida? Mi preocupación es que yo podría asumir que $\mathbb R^n$ es recursivamente enumerable.

Answer 1

Su declaración es, en realidad, no es cierto. Consideremos por ejemplo el orden lexicográfico ($X \subset \mathbb{R}^2$, y para $x, y \in X$, $x \preceq y \iff x_{1} < y_{1}$ o $x_{1} = y_{1}$$x_{2} < y_{2}$. (Se llama lexicográfica como recuerda el diccionario).

Este orden total no permita una función de utilidad, como puede ser visto en Mas-Colell, Whiston y Verde (p. 46). La prueba es la siguiente. Imagino que hay es una función de $u$. A continuación, para el lexicográfica de la propiedad, debe ser cierto que $u(x_{1}, 2) > u(x_{1}, 1)$, para todos los $x_{1} \in \mathbb{R}$. Pero, entonces podemos obtener una racional $r(x_{1})$ tal que para todo $x_{1}$, $u(x_1, 2) > r(x_{1}) > u(x_1, 1)$, lo que sería una surjective función de los racionales a los reales, una contradicción con los reales de ser incontables.

El problema con la prueba es similar, trata de pensar en por qué su prueba no funcionaría por este orden.

Answer 2

Esto no es una prueba válida, debido a que su secuencia $x_1, x_2, \dots$ no puede contener todos los puntos de $\mathbb R^n$, debido a que el último no es contable. (Aún no se supone que es recursivamente enumerable, pero se ha asumido que es enumerable en todo, y no lo es!)

Yo creo que su declaración no es cierto, incluso para el $n = 1$ de los casos. Si $\preceq$ es un buen orden, por ejemplo, yo creo que se puede mostrar no puede existir $u$. Más precisamente, si un subconjunto de a $\mathbb R$ está bien ordenado por la costumbre de ordenar relación, debe ser contable. Me pregunta si desea más detalles sobre esto.